如图,已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B,线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.(1)求△AOB的面积;(2)求点C坐标;(3)点

如图,已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B,线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.(1)求△AOB的面积;(2)求点C坐标;(3)点

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如图,已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B,线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.

(1)求△AOB的面积;
(2)求点C坐标;
(3)点P是x轴上的一个动点,设P(x,0)
①请用x的代数式表示PB2、PC2
②是否存在这样的点P,使得|PC-PB|的值最大?如果不存在,请说明理由;
如果存在,请求出点P的坐标.
答案
(1)6;(2)(7,4);(3)①;②存在这样的P点,P(3,0).
解析

试题分析:(1)先由直线求出A、B两点的横坐标,即OA、OB的长,从而可求出△AOB的面积;
(2)过C点作CD⊥x轴,垂足为D,构造Rt△ADC.易证△OAB≌△DCA,从而可求出CD=4,OD=7,所以C点坐标为(7,4);
(3)①由(2)可知,PD=7-x,在Rt△OPB中,,Rt△PCD中,
②存在这样的P点.P(3,0).
试题解析:(1)由直线,令y=0,得OA=x=4,令x=0,得OB=y=3,∴S△AOB=×4×3=6;
(2)过C点作CD⊥x轴,垂足为D,

∵∠BAO+∠CAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠BAO=∠ACD,
又∵AB=AC,∠AOB=∠CDA=90°,
∴△OAB≌△DCA,
∴CD=OA=4,AD=OB=3,则OD=4+3=7,
∴C(7,4);
(3)①由(2)可知,PD=7-x,
在Rt△OPB中,PB2=OP2+OB2=x2+9,
Rt△PCD中,PC2=PD2+CD2=(7-x)2+16=x2-14x+65,
②存在这样的P点.
设B点关于 x轴对称的点为B′,则B′(0,-3),
连接CB′,设直线B′C解析式为y=kx+b,将B′、C两点坐标代入,得
解得
所以,直线B′C解析式为y=x-3,
令y=0,得P(3,0),此时|PC-PB|的值最大,
举一反三
小明周末去爬山,从家出发到山下开始爬山,到达山顶后在原地休息了一会,再原路返回下山到家,那么小明离家的距离S(单位:千米)与离家的时间t(单位:时)之间的函数关系图象大致是(   )
A.B.C.D.

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如图,二次函数的图象与x轴交于两个不同的点A(﹣2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,3),连接BC、AC,该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D.

(1)求这个二次函数的解析式、
(2)点D的坐标及直线BC的函数解析式;
(3)点Q在线段BC上,使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△ABC相似,求出点Q的坐标;
(4)在(3)的条件下,若存在点Q,请任选一个Q点求出△BDQ外接圆圆心的坐标.
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为了建设社会主义新农村,我市积极推进“行政村通畅工程”.张村和王村之间的道路需要进行改造,施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,不过施工队随后加快了施工进度,按时完成了两村之间的道路改造.下面能反映该工程已改造的道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图象是(  )

A.               B.              C.                D.
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做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺,每个店铺在同一段时间内都能售出A,B两种款式的服装合计30件,并且每售出一件A款式和B款式服装,甲店铺获毛利润分别为30元和40元,乙店铺获毛利润分别为27元和36元。某日王老板进货A款式服装35件,B款式服装25件。怎样分配给每个店铺各30件服装,使得在保证乙店铺毛利润不小于950元的前提下,王老板获取的总毛利润最大?最大的总毛利润是多少?
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某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划用它们生产A、B两种产品共50件,已知每生产一件A种产品,需要甲种原料9kg、乙种原料3kg,获利700元,生产一件B种产品,需要甲种原料4kg、乙种原料10kg,可获利1200元.
(1)利用这些原料,生产A、B两种产品,有哪几种不同的方案?
(2)设生产两种产品总利润为y(元),其中生产A中产品x(件),试写出y与x之间的函数解析式.
(3)利用函数性质说明,采用(1)中哪种生产方案所获总利润最大?最大利润是多少?
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