解:(1)∵ AC = BC,∴ ∠A =∠B. ∵ AC = BC,CD⊥AB,∴ .……………………(1分) 由勾股定理,得 .………………(1分) ∵ AM = CM,∴ ∠A =∠ACM. 即得 ∠ACM =∠B. ∴ △ACM∽△ABC.…………………………………………………(1分) ∴ .∴ .即得 .………………(1分) (2)过点M作MF⊥BC,垂足为点F. 由 AM = x,得 BM =" 8" –x. ∵ MF⊥BC,CD⊥AB, ∴∠MFB =∠ADC = 90°. 又∵ ∠A =∠B,∴ △MBF∽△ACD.……………………………(2分) ∴ .即得 . ∴ . ∴ .…………………………(1分) ∵ MC = MN,MF⊥BC, ∴ . 即得 .……………………………………………………(1分) 定义域为 .………………………………………………(1分) (3)当点M在边AB上移动时,线段ME的长不变,ME = 4.…………(1分) 由点N在射线CB上,可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上. (ⅰ)如果点N在边BC上,可知点M在线段AD上. ∵ AC = BC,∠ACB = 90°,∴ ∠A =∠B = 45°. 又∵ AC = BC,CD⊥AB,AB = 8, ∴ CD = BD = 4. 即得 . ∵ MC = MN,∴ ∠MCN =∠MNC. ∵ ∠MCN =∠MCD +∠BCD,∠MNC =∠B +∠BMN, ∴ ∠MCD =∠NME. 又∵ CD⊥AB,NE⊥AB,∴ ∠CDM =∠MEN = 90°. ∴ △MCD≌△MNE(A.A.S). ∴ ME = CD = 4.……………………………………………………(2分) (ⅱ)如果点N在边CB的延长线上,可知点M在线段BD上,且点E在边AB的延长线上. 于是,由 ∠ABC =∠MNC +∠BMN = 45°, ∠BCD =∠MCD +∠MCN = 45°, ∠MCN =∠MNC, 得 ∠MCD =∠BMN. 再由 MC = MN,∠CDM =∠MEN = 90°, 得 △MCD≌△MNE(A.A.S). ∴ ME = CD = 4.……………………………………………………(2分) ∴ 由(ⅰ)、(ⅱ)可知,当点M在边AB上移动时,线段ME的长不变,ME = 4. (1)由勾股定理求得AC=5,然后利用相似三角形的相似比求出; (2)证明△MBF∽△ACD,可得; (3)注意点N在射线CB上,应该包括两种情况:点N在边BC上或点N在边CB的延长线上. |