在平面直角坐标系xOy中,边长为4的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都

在平面直角坐标系xOy中,边长为4的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,边长为4的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限.
(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;
(2)无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P是否在直线y=x上?如果在,请给出证明;如果不在,请说明理由.
答案
(1)∵四边形ABCD是边长为4的正方形,
∴AC⊥BD,
∴BP=AP=2


2

当∠BAO=45°时,△AOB及△BPA是等腰直角三角形,
∴OA=OB=2


2

∴四边形OAPB是正方形,
∵点P在第一象限,
∴P(2


2
,2


2
);

(2)无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P是在直线y=x上.
证明:作DE⊥x轴于E,设A点坐标为(m,0),B点坐标为(0,n).
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中:





∠ABO=∠DAE
AB=AD
∠BAO=∠ADE

∴△AOB≌△DEA(ASA)
∴AE=0B=n,DE=OA=m,
∴D点坐标为(m+n,m)
∵点P为BD的中点,且B点坐标为(0,n)
∴P点坐标为(
m+n
2
m+n
2
),
∴点P在直线y=x上,即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上.
举一反三
如图,已知点A(6,0),点P(x,y)在第一象限,且x+y=8,设△OPA的面积S.
(1)求S关于x的函数解析式;
(2)求x的取值范围;
(3)求S=12时,P点的坐标.
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正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上,已知正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1的面积分别是4和16,则Bn的坐标是______.
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如图,直线AB对应的函数表达式是(  )
A.y=-
3
2
x+3
B.y=
3
2
x+3
C.y=-
2
3
x+3
D.y=
2
3
x+3

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已知一次函数y=


3
+m(O<m≤1)的图象为直线l,直线l绕原点O旋转180°后得直线l",△ABC三个顶点的坐标分别为A(-


3
,-1)、B(


3
,-1)、C(0,2).
(1)直线AC的解析式为______,直线l"的解析式为______(可以含m);
(2)如图,l、l"分别与△ABC的两边交于E、F、G、H,当m在其范围内变化时,判断四边形EFGH中有哪些量不随m的变化而变化?并简要说明理由;
(3)将(2)中四边形EFGH的面积记为S,试求m与S的关系式,并求S的变化范围;
(4)若m=1,当△ABC分别沿直线y=x与y=


3
x平移时,判断△ABC介于直线l,l"之间部分的面积是否改变?若不变,请指出来;若改变,请写出面积变化的范围.(不必说明理由)
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正比例函数y=2x的图象与一次函数y=-3x+k的图象交于点P(1,m),求:
(1)k的值;
(2)两条直线与x轴围成的三角形的面积.
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