试题分析:(1)由抛物线经过点A(1,0),B(5,0),C(0, )三点,利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)由点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,可得y<0,即﹣y>0,﹣y表示点E到OA的距离,又由S=2S△OBE=2× ×OB•|y|,即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,结合图象,求得自变量x的取值范围; (3)由当OB⊥EF,且OB=EF时,平行四边形OEBF是正方形,可得此时点E坐标只能( ,﹣ ),而坐标为( ,﹣ )点在抛物线上,故可判定存在点E,使平行四边形OEBF为正方形. 试题解析:(1)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, ∵抛物线经过点A(1,0),B(5,0),C(0, )三点,则由题意可得:
,解得 . ∴所求抛物线的解析式为:y=x2﹣4x+ ; (2)∵点E(x,y)是抛物线上一动点,且在x轴下方, ∴y<0, 即﹣y>0,﹣y表示点E到OA的距离. ∵OB是平行四边形OEBF的对角线, ∴S=2S△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5(x2﹣4x+ )=﹣ x2+20x﹣ , ∵S=﹣ (x﹣3)2+![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019022515-53228.png) ∴S与x之间的函数关系式为:S=﹣ x2+20x﹣ (1<x<5),S的最大值为 ; (3)∵当OB⊥EF,且OB=EF时,平行四边形OEBF是正方形, ∴此时点E坐标只能( ,﹣ ),而坐标为( ,﹣ )点在抛物线上, ∴存在点E( ,﹣ ),使平行四边形OEBF为正方形, 此时点F坐标为( , ). |