试题分析:(1)①首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C(0,2)在C2上,求出抛物线C2的解析式; ②认真审题,题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上,“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形,如图1所示,利用三角函数(或相似),求出a的值; (2)解题要点有3个: i)判定△ABD为等边三角形; ii)理论依据是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等; iii)满足条件的点有4个,即△ABD形内1个(内心),形外3个.不要漏解. 试题解析:(1)当m= 时,抛物线C1:y=(x+ )2. ∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a, ∴D(a,(a+ )2). ∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+ )2(I). ①∵OC=2,∴C(0,2). ∵点C在抛物线C2上, ∴﹣(0﹣a)2+(a+ )2=2, 解得:a= ,代入(I)式, 得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+ x+2. ②在(I)式中, 令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+ )2=0,解得x=2a+ 或x=﹣ ,∴B(2a+,0); 令x=0,得:y=a+ ,∴C(0,a+ ). 设直线BC的解析式为y=kx+b,则有:
,解得 , ∴直线BC的解析式为:y=﹣ x+(a+ ). 假设存在满足条件的a值. ∵AP=BP, ∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上; ∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立, ∴OP⊥BC. 如图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E, 则OP⊥BC,OE=a.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019023004-50655.png) ∵点P在直线BC上, ∴P(a, a+ ),PE= a+ . ∵tan∠EOP=tan∠BCO= , ∴ , 解得:a= . ∴存在a= ,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP" (3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a, ∴D(a,(a+m)2). ∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2. 令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0). ∵OB=2 ﹣m, ∴2a+m=2 ﹣m, ∴a= ﹣m. ∴D( ﹣m,3). AB=OB+OA=2 ﹣m+m=2 . 如图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB= ,OE=OB﹣BE= ﹣m.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019023005-30950.png) ∵tan∠ABD= , ∴∠ABD=60°. 又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形. 作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE•tan30°= × =1, ∴P1( ﹣m,1); 在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4. 在Rt△BEP2中,P2E=BE•tan60°= • =3, ∴P2( ﹣m,﹣3); 易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2 ,且P3P4∥x轴. ∴P3(﹣ ﹣m,3)、P4(3 ﹣m,3). 综上所述,到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个, 其坐标为:P1( ﹣m,1),P2( ﹣m,﹣3),P3(﹣ ﹣m,3),P4(3 ﹣m,3). 【考点】二次函数综合题. |