试题分析:(1)由OA的长度确定出A的坐标,再利用对称性得到顶点坐标,设出抛物线的顶点形式y=a(x-2)2+3,将A的坐标代入求出a的值,即可确定出抛物线解析式; (2)设直线AC解析式为y=kx+b,将A与C坐标代入求出k与b的值,确定出直线AC解析式,与抛物线解析式联立即可求出D的坐标; (3)存在,分两种情况考虑:如图所示,当四边形ADMN为平行四边形时,DM∥AN,DM=AN,由对称性得到M(3, ),即DM=2,故AN=2,根据OA+AN求出ON的长,即可确定出N的坐标;当四边形ADM′N′为平行四边形,可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P,M′P=DQ=,N′P=AQ=3,将y=-代入得:-=-x2+3x,求出x的值,确定出OP的长,由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标. 试题解析:(1)设抛物线顶点为E,根据题意OA=4,OC=3,得:E(2,3), 设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3, 将A(4,0)坐标代入得:0=4a+3,即a=﹣, 则抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+3=﹣x2+3x; (2)设直线AC解析式为y=kx+b(k≠0), 将A(4,0)与C(0,3)代入得:, 解得:,故直线AC解析式为y=﹣x+3, 与抛物线解析式联立得:,解得:或, 则点D坐标为(1,); (3)存在,分两种情况考虑: ①当点M在x轴上方时,如答图1所示:
四边形ADMN为平行四边形,DM∥AN,DM=AN, 由对称性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,∴N1(2,0),N2(6,0); ②当点M在x轴下方时,如答图2所示:
过点D作DQ⊥x轴于点Q,过点M作MP⊥x轴于点P,可得△ADQ≌△NMP, ∴MP=DQ=,NP=AQ=3,将yM=﹣代入抛物线解析式得:﹣=﹣x2+3x, 解得:xM=2﹣或xM=2+,∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1, ∴N3(﹣﹣1,0),N4(﹣1,0). 综上所述,满足条件的点N有四个:N1(2,0),N2(6,0),N3(﹣﹣1,0),N4(﹣1,0). |