（本小题满分12分）正方体的棱长为，是与的交点，是上一点，且．（1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）正方体的棱长为，是与的交点，是上一点，且．
（1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．

答案

（1）略
（2）
（3）

解析

解：（Ⅰ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则，，，，
∴，，．
，

又与交于点
，
∴平面．……………………4分
（Ⅱ）设与所成的角为．
，，．
∴，
．
∴．
所求异面直线与所成角的余弦值为．…………………………8分
（Ⅲ）设平面与直线所成的角为．
设平面的法向量为．
， ，，，．

令，则
．
．