如图,在直角坐标系xOy中,正方形OCBA的顶点A,C分别在y轴,x轴上,点B坐标为(6,6),抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B两点,且3a-b=-1.(
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如图,在直角坐标系xOy中,正方形OCBA的顶点A,C分别在y轴,x轴上,点B坐标为(6,6),抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B两点,且3a-b=-1.(
题型:不详
难度:
来源:
如图,在直角坐标系xOy中,正方形OCBA的顶点A,C分别在y轴,x轴上,点B坐标为(6,6),抛物线y=ax
2
+bx+c经过点A,B两点,且3a-b=-1.
(1)求a,b,c的值;
(2)如果动点E,F同时分别从点A,点B出发,分别沿A→B,B→C运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E到达终点B时,点E,F随之停止运动,设运动时间为t秒,△EBF的面积为S.
①试求出S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E,B,R,F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
(1)
,
,
;(2)s=-
(t-3)
2
+
,
; (9,3).
解析
试题分析:(1)由于四边形OABC是正方形,易知点A的坐标,将A、B的坐标分别代入抛物线的解析式中,联立3a-b=-1,即可求得待定系数的值.
(2)①用t分别表示出BE、BF的长,利用直角三角形面积公式求出△EBF的面积,从而得到关于S、t的函数关系式,根据函数的性质即可求得S的最大值;
②当S取最大值时,即可确定BE、BF的长,若E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形,可有两种情况:一、EB平行且相等于FR,二、ER平行且相等于FB;只需将E点坐标向上、向下平移BF个单位或将F点坐标向左、向右平移BE个单位,即可得到R点坐标,然后将它们代入抛物线的解析式中进行验证,找出符合条件的R点即可.
(1)由已知A(0,6),B(6,6)在抛物线上,
得方程组
,解得
.
(2)①运动开始t秒时,EB=6-t,BF=t,
S=
EB•BF=
(6-t)t=-
t
2
+3t,
以为S=-
t
2
+3t=-
(t-3)
2
+
,
所以当t=3时,S有最大值
.
②当S取得最大值时,
∵由①知t=3,
∴BF=3,CF=3,EB=6-3=3,
若存在某点R,使得以E,B,R,F为顶点的四边形是平行四边形,
则FR
1
=EB且FR
1
∥EB,
即可得R
1
为(9,3),R
2
(3,3);
或者ER
3
=BF,ER
3
∥BF,可得R
3
(3,9).
再将所求得的三个点代入y=-
x
2
+
x+6,可知只有点(9,3)在抛物线上,
因此抛物线上存在点R(9,3),使得四边形EBRF为平行四边形.
举一反三
已知抛物线
,
(1)若
求该抛物线与x轴的交点坐标;
(2)若
,证明抛物线与x轴有两个交点;
(3)若
且抛物线在
区间上的最小值是-3,求b的值.
题型:不详
难度:
|
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抛物线y=-x
2
+2x+3的顶点坐标是( )
A.(-1,4)
B.(1,3)
C.(-1,3)
D.(1,4)
题型:不详
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|
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如图,直角梯形OABC中,AB∥OC,点A坐标为(0,6),点C坐标为(3,0),BC=
,一抛物线过点A、B、 C.
(1)填空:点B的坐标为
;
(2)求该抛物线的解析式;
(3)作平行于x轴的直线与x轴上方的抛物线交于点E 、F,以EF为直径的圆恰好与x轴相切,求该圆的半径.
题型:不详
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|
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已知
的图象如图所示,其对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为(1,0),与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间(不包含端点),则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
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如图,在平面直角坐标系中,△ABC的边AB在x轴上,∠ABC=90°,AB=BC,OA=1,OB=4,抛物线
经过A、C两点.
(1)求抛物线的解析式及其顶点坐标;
(2)如图①,点P是抛物线上位于x轴下方的一点,点Q与点P关于抛物线的对称轴对称,过点P、Q分别向x轴作垂线,垂足为点D、E,记矩形DPQE的周长为d,求d的最大值,并求出使d最大值时点P的坐标;
(3)如图②,点M是抛物线上位于直线AC下方的一点,过点M作MF⊥AC于点F,连接MC,作MN∥BC交直线AC于点N,若MN将△MFC的面积分成2:3两部分,请确定M点的坐标.
题型:不详
难度:
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