已知函数f(x)=x2+1ax+b是奇函数,且f(1)=2(1)求f(x)的表达式;(2)F(x)=xf(x)(x>0),记S=F(1)+F(2)+F(3)+…

已知函数f(x)=x2+1ax+b是奇函数,且f(1)=2(1)求f(x)的表达式;(2)F(x)=xf(x)(x>0),记S=F(1)+F(2)+F(3)+…

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
x2+1
ax+b
是奇函数,且f(1)=2
(1)求f(x)的表达式;
(2)F(x)=
x
f(x)
(x>0)
,记S=F(1)+F(2)+F(3)+…F(2012)+F(
1
2
)+F(
1
3
)+…+F(
1
2012
)
,求S的值.
答案
(1)∵f(x)=
x2+1
ax+b
是奇函数,∴a≠0,其定义域为{x|x≠-
b
a
}

-
b
a
=0
①,又f(1)=2,得
2
a+b
=2
②,由①②解得b=0,a=1,
f(x)=
x2+1
x
(x≠0)

(2)F(x)=
x
f(x)
=
x
x2+1
x
=
x2
x2+1
(x>0),
F(a)+F(
1
a
)=
a2
a2+1
+
(
1
a
)
2
(
1
a
)
2
+1
=
a2
a2+1
+
1
1+a2
=1

F(1)=
1
2

所以S=F(1)+F(2)+F(3)+…+F(2012)+F(
1
2
)+F(
1
3
)+…+F(
1
2012
)=F(1)+2011=
4023
2
举一反三
已知函数f(x)=
1+a•2x
2x+1
是奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性并用定义法证明;
(3)若对任意x∈R+不等式f(x+
2
x
-


m
)≤-
1
3
恒成立,求实数m的范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=(  )
A.{x|x≤0或1≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}
C.{x|x≤4}D.{x|0≤x≤1或x≥4}
题型:单选题难度:简单| 查看答案
一艘轮船1小时的燃料费P元与速度v(公里/小时)的函数关系为P=kv3.已知速度为每小时10公里时,燃料费是每小时5元,而其它和速度无关的费用是每小时80元.
(1)求k的值;
(2)已知甲,乙两地相距100公里,问该轮船以多大的速度行驶时,从甲地行驶到乙地所需的费用总和为最小?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log
1
2
ax-2
x-1
(a为常数).
(1)若常数a<2且a≠0,求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在区间(2,4)上是减函数,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=3


x-1
+4


5-x
的最大值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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