试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,点B坐标可由对称性质得到,或令y=0,由解析式得到; (2)关键是求出点D的坐标,然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度; (3)本问为存在型问题.可以先假设存在,然后按照题意条件求点P的坐标,如果能求出则点P存在,否则不存在.注意三角形相似有两种情形,需要分类讨论. 试题解析:(1)∵点A(1,0)和点C(0,1)在抛物线上,∴,解得:a=﹣1,b=1,∴抛物线的解析式为:,抛物线的对称轴为y轴,则点B与点A(1,0)关于y轴对称,∴B(﹣1,0); (2)设过点A(1,0),C(0,1)的直线解析式为,可得:,解得k=﹣1,b=1,∴.∵BD∥CA,∴可设直线BD的解析式为,∵点B(﹣1,0)在直线BD上,∴,得,∴直线BD的解析式为:.将代入抛物线的解析式,得:,解得:x1=2,x2=﹣1,∵B点横坐标为﹣1,则D点横坐标为2,D点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3,∴D点坐标为(2,﹣3).如答图①所示,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3,AN=1,BN=3,在Rt△BDN中,BN=DN=3,由勾股定理得:BD=;在Rt△ADN中,DN=3,AN=1,由勾股定理得:AD=;又OA=OB=OC=1,OC⊥AB,由勾股定理得:AC=BC=;∴四边形ABCD的周长为:AC+BC+BD+AD=.
(3)假设存在这样的点P,则△BPE与△CBD相似有两种情形:(I)若△BPE∽△BDC,如答图②所示, 则有,即,∴PE=3BE.设OE=m(m>0),则E(﹣m,0),BE=1﹣m,PE=3BE=3﹣3m,∴点P的坐标为(﹣m,3﹣3m),∵点P在抛物线上,∴,解得m=1或m=2,当m=1时,点E与点B重合,故舍去;当m=2时,点E在OB左侧,点P在x轴下方,不符合题意,故舍去.因此,此种情况不存在;
(II)若△EBP∽△BDC,如答图③所示,则有,即,∴BE=3PE.设OE=m(m>0),则E(m,0),BE=1+m,PE=BE=,∴点P的坐标为(,).∵点P在抛物线上,∴,解得或m=,∵m>0,故舍去,∴m=,点P的纵坐标为:,∴点P的坐标为(,). 综上所述,存在点P,使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似,点P的坐标为(,).
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