如图.在平面直角坐标系中,边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上,连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上,BF与AD交于点E.(1)求证:△OAD≌△
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如图.在平面直角坐标系中,边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上,连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上,BF与AD交于点E.(1)求证:△OAD≌△
题型:不详
难度:
来源:
如图.在平面直角坐标系中,边长为
的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上,连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上,BF与AD交于点E.
(1)求证:△OAD≌△EAB;
(2)求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,其关于直线BF的对称点在x轴上?若有,求出点P的坐标;
(4)连接OE,若点M是直线BF上的一动点,且△BMD与△OED相似,求点M的坐标.
答案
解:(1)证明:如答图1所示,连接ID,IO,
∵I为△BOD的外心,∴IO=ID。
又F为OD的中点,∴IF⊥OD。
∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°。
又∠DEF=∠AEB,∴∠EDF=∠EBA。
又∵DA=BA,且∠OAD=∠EAB=90°,
∴△OAD≌△EAB(AAS)。
(2)由(1)知IF⊥OD,又BF为中线,
∴BO=BD=
AB=2。∴OA=BO﹣AB=
。
由(1)知△OAD≌△EAB,∴AE=OA=
。
∴E(
,
),B(2,0)。
设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax
2
+bx,
∴
,解得
。
∴抛物线的解析式为:
。
(3)∵直线BD与x轴关于直线BF对称,∴抛物线与直线BD的交点,即为所求之点P。
由(2)可知,B(2,0),D(
,
),可得直线BD的解析式为y=﹣x+2。
∵点P既在直线y=﹣x+2上,也在抛物线
上,
∴
,解得:x=2或x=
。
当x=2时,y=﹣x+2=0;当x=
时,y=﹣x+2=
,
∴点P的坐标为(2,0)(与点B重合),或(
,
)。
(4)∵DBO=45°,BD=BO,BF⊥OD,
∴∠EBA=22.5°。
由(1)知∠ODA=22.5°,
∴∠DOA=67.5°,OA=EA。
∴∠EOA=45°,∠DOE=22.5°
∴△OED是顶角为135°的等腰三角形。
若△BMD与△OED相似,则△BMD必须是等腰三角形。
如答图2所示,在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个,分别记为M
1
,M
2
,M
3
,M
4
,其中符合题意的是点M
1
,M
3
。
∵DM
1
=DB=2,OA=
,∴M
1
(
,
)。
由(1)知B(2,0),E(
,
),故直线BE的解析式为y=(1﹣
)x﹣2+
。
∵I是△BOD的外心,它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点,
∴I(1,
﹣1),即M
3
(1,
﹣1).
∴符合题意的M点的坐标为(
,
),(1,
﹣1)。
解析
试题分析:(1)连接ID,IO,通过证明IF⊥OD而得到∠FED=∠EBA;又由DA=BA,且∠OAD=∠EAB=90°,即可由AAS证得△OAD≌△EAB;
(2)求出点B、E的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(3)由于直线BD与x轴关于直线BF对称,则抛物线与直线BD的交点即为所求之点P。分别求出抛物线与直线BD的解析式,联立解方程,即可求出交点(点P)的坐标。
(4)首先证明△OED是顶角为135°的等腰三角形,若△BMD与△OED相似,则△BMD必须是等腰三角形.如答图2所示,在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个,分别记为M
1
,M
2
,M
3
,M
4
,其中符合题意的是点M
1
,M
3
。
举一反三
如图,已知抛物线y=ax
2
+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.
题型:不详
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如图,矩形的长和宽分别是4和3,等腰三角形的底和高分别是3和4,如果此三角形的底和矩形的宽重合,并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合.设矩形与等腰三角形重叠部分(阴影部分)的面积为y,重叠部分图形的高为x,那么y关于x的函数图象大致应为
A.
B.
C.
D.
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如图,正方形AOCB在平面直角坐标系
中,点O为原点,点B在反比例函数
(
>
)图象上,△BOC的面积为
.
(1)求反比例函数
的关系式;
(2)若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动,同时动点F 从B开始沿BC向C以每秒
个单位的速度运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点随之停止运动.若运动时间用t表示,△BEF的面积用
表示,求出S关于t的函数关系式,并求出当运动时间t取何值时,△BEF的面积最大?
(3)当运动时间为
秒时,在坐标轴上是否存在点P,使△PEF的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y的正半轴上,点B的坐标是(5,3),抛物线
经过A、C两点,与x轴的另一个交点是点D,连接BD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是抛物线对称轴上的一点,以M、B、D为顶点的三角形的面积是6,求点M的坐标;
(3)点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动,当点P到达点B时,P、Q同时停止运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?请直接写出所有符合条件的值.
题型:不详
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如图,抛物线
与y轴相交于点A,与过点A平行于x轴的直线相交于点B(点B在第一象限).抛物线的顶点C在直线OB上,对称轴与x轴相交于点D.平移抛物线,使其经过点A、D,则平移后的抛物线的解析式为
.
题型:不详
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