已知抛物线的顶点为点D,并与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.(1)求点A、B、C、D的坐标;(2)在y轴的正半轴上是否存在点P,使以
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已知抛物线的顶点为点D,并与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.(1)求点A、B、C、D的坐标;(2)在y轴的正半轴上是否存在点P,使以
题型:不详
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已知抛物线
的顶点为点D,并与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.
(1)求点A、B、C、D的坐标;
(2)在y轴的正半轴上是否存在点P,使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)取点E(
,0)和点F(0,
),直线l经过E、F两点,点G是线段BD的中点.
①点G是否在直线l上,请说明理由;
②在抛物线上是否存在点M,使点M关于直线l的对称点在x轴上?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)在
中,令y=0,则
,整理得,4x
2
﹣12x﹣7=0,
解得x
1
=
,x
2
=
。∴A(
,0),B(
,0)。
在
中,令x=0,则y=
。∴C(0,
)。
∵
,∴顶点D(
,﹣4)。
(2)在y轴正半轴上存在符合条件的点P。
设点P的坐标为(0,y),
∵A(
,0),C(0,
),∴OA=
,OC=
,OP=y,
①若OA和OA是对应边,则△AOP∽△AOC,∴
。∴y=OC=
,此时点P(0,
)。
②若OA和OC是对应边,则△POA∽△AOC,∴
,即
。
解得y=
,此时点P(0,
)。
综上所述,符合条件的点P有两个,P(0,
)或(0,
)。
(3)①设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵直线l经过点E(
,0)和点F(0,
),
∴
,解得
,
∴直线l的解析式为
。
∵B(
,0),D(
,﹣4),
∴
,∴线段BD的中点G的坐标为(
,﹣2)。
当x=
时,
,∴点G在直线l上。
②在抛物线上存在符合条件的点M。
设抛物线的对称轴与x轴交点为H,则点H的坐标为(
,0),
∵E(
,0)、F(0,
),B(
,0)、D(
,﹣4),
∴OE=
,OF=
,HD=4,HB=
﹣
=2。
∵
,∠OEF=∠HDB,
∴△OEF∽△HDB。∴∠OFE=∠HBD。
∵∠OEF+∠OFE=90°,∴∠OEF+∠HBD=90°。
∴∠EGB=180°﹣(∠OEF+∠HBD)
=180°﹣90°=90°,
∴直线l是线段BD的垂直平分线。
∴点D关于直线l的对称点就是点B。
∴点M就是直线DE与抛物线的交点。
设直线DE的解析式为y=mx+n,
∵D(
,﹣4),E(
,0),
∴
,解得
。
∴直线DE的解析式为
。
联立
,解得
,
。
∴符合条件的点M有两个,是(
,﹣4)或(
,
)。
解析
试题分析:(1)令y=0,解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标,令x=0求出点C的坐标,再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标。
(2)根据点A、C的坐标求出OA、OC的长,再分OA和OA是对应边,OA和OC是对应边两种情况,利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长,从而得解。
(3)①设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式,再利用中点公式求出点G的坐标,然后根据直线上点的坐标特征验证即可。
②设抛物线的对称轴与x轴交点为H,求出OE、OF、HD、HB的长,然后求出△OEF和△HDB相似,根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD,然后求出EG⊥BD,从而得到直线l是线段BD的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B,从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点。再设直线DE的解析式为y=mx+n,利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式,然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M。
举一反三
在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=﹣mx
2
+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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抛物线
的最小值是
.
题型:不详
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如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交 y轴与A点,交x轴与B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系,并给出证明.
(3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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已知:关于x的二次函数
(a>0),点A(n,y
1
)、B(n+1,y
2
)、C(n+2,y
3
)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.
(1)y
1
=y
2
,请说明a必为奇数;
(2)设a=11,求使y
1
≤y
2
≤y
3
成立的所有n的值;
(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由.
题型:不详
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二次函数
图象上部分点的坐标满足下表:
则该函数图象的顶点坐标为【 】
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
A.(-3,-3) B.(-2,-2) C.(-1,-3) D.(0,-6)
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