如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交 y轴与A点,交x轴与B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5).(1)求此抛物线的解析式;
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如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交 y轴与A点,交x轴与B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5).(1)求此抛物线的解析式;
题型:不详
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来源:
如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交 y轴与A点,交x轴与B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系,并给出证明.
(3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)∵抛物线的顶点为(3,4),∴可设此抛物线的解析式为:
。
∵此抛物线过点A(0,-5),∴
,解得
。
∴此抛物线的解析式为:
,即
。
(2)此时抛物线的对称轴与⊙C相离。证明如下:
令
,即
,得x=1或x=5,
∴B(1,0),C(5,0)。
令x=1,得
,∴A(0,-5)。
如图,过点C作CE⊥BD于点E,作抛物线的对称轴交x轴于点F,
∵AB⊥BD,∴∠ABO=90
0
-∠ABO=∠CBE。
∵∠AOB=∠BEC=90
0
,∴△AOB∽△BEC。
∴
。
又∵OB=1,OA=5,∴根据勾股定理,得
。
又∵BC=4,∴
,即
。
∵CF=2,∴
,即
。
∴抛物线的对称轴与⊙C相离。
(3)存在。
假设存在满足条件的点
,
∵点
在抛物线
上,∴
。
又
,
,
。
①当∠A=90
0
时,在
中,由勾股定理,得
,
∴
,整理,得
。
∴
,解得
或
,∴
或
。
∴点P为(7,-12)或(0,-5)(舍去)。
②当∠C=90
0
时,在
中,由勾股定理,得
,
∴
,整理,得
。
∴
,解得
或
,∴
或
。
∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)。
综上所述,满足条件的点P的坐标为(7,-12)或(2,3)。
解析
(1)由于已知抛物线的顶点为(3,4),故应用待定系数法,设顶点式求解。
(2)过点C作CE⊥BD于点E,应用△AOB∽△BEC求得CE的长,与点C到抛物线的对称轴的距离比较即可。
(3)用点P的横坐标表示三边的长,分∠A=90
0
和∠C=90
0
两种情况讨论即可。
举一反三
已知:关于x的二次函数
(a>0),点A(n,y
1
)、B(n+1,y
2
)、C(n+2,y
3
)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.
(1)y
1
=y
2
,请说明a必为奇数;
(2)设a=11,求使y
1
≤y
2
≤y
3
成立的所有n的值;
(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由.
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二次函数
图象上部分点的坐标满足下表:
则该函数图象的顶点坐标为【 】
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
A.(-3,-3) B.(-2,-2) C.(-1,-3) D.(0,-6)
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如图是二次函数
图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y
1
),(
,y
2
)是抛物线上两点,则
y
1
>y
2
.其中说法正确的是【 】
A.①②
B.②③
C.①②④
D.②③④
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如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数
的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(
,0),以OC为直径作半圆,圆心为D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:直线BE是⊙D的切线;
(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
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已知两点
均在抛物线
上,点
是该抛物线的顶点,若
,则
的取值范围是【 】
A.
B.
C.
D.
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