如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).(1)求抛物线的
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如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).
(1)求抛物线的解析式; (2)求△ABC的面积; (3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标. |
答案
解:(1)∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点, ∴可得A(1,0),B(0,﹣3), 把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得:,解得:。 ∴抛物线解析式为:y=x2+2x﹣3。 (2)令y=0得:0=x2+2x﹣3,解得:x1=1,x2=﹣3。 ∴C点坐标为:(﹣3,0),AC=4, ∴S△ABC=AC×OB=×4×3=6。 (3)存在。 易得抛物线的对称轴为:x=﹣1,假设存在M(﹣1,m)满足题意, 根据勾股定理,得。 分三种情况讨论: ①当AM=AB时,,解得:。 ∴M1(﹣1,),M2(﹣1,)。 ②当BM=AB时,,解得:M3=0,M4=﹣6。 ∴M3(﹣1,0),M4(﹣1,﹣6)。 ③当AM=BM时,,解得:m=﹣1。 ∴M5(﹣1,﹣1)。 综上所述,共存在五个点使△ABM为等腰三角形,坐标为M1(﹣1,),M2(﹣1,),M3(﹣1,0),M4(﹣1,﹣6),M5(﹣1,﹣1)。 |
解析
试题分析:(1)根据直线解析式求出点A及点B的坐标,然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式,可得出b、c的值,求出抛物线解析式。 (2)由(1)求得的抛物线解析式,可求出点C的坐标,继而求出AC的长度,代入三角形的面积公式即可计算。 (3)根据点M在抛物线对称轴上,可设点M的坐标为(﹣1,m),分三种情况讨论,①AM=AB,②BM=AB,③AM=BM,求出m的值后即可得出答案。 |
举一反三
(2013年四川泸州12分)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(1,),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过三点A、B、O(O为原点).
(1)求抛物线的解析式; (2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号) |
(2013年四川眉山11分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B在x轴上,点C、D在y轴上,且OB=OC=3,OA=OD=1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点,直线AD与抛物线交于另一点M.
(1)求这条抛物线的解析式; (2)P为抛物线上一动点,E为直线AD上一动点,是否存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式. |
(2013年四川绵阳4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论: ①2a+b>0;②b>a>c;③若﹣1<m<n<1,则m+n<;④3|a|+|c|<2|b|. 其中正确的结论是 (写出你认为正确的所有结论序号).
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(2013年四川绵阳12分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,﹣2),交x轴于A、B两点,其中A(﹣1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D.
(1)求二次函数的解析式和B的坐标; (2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示); (3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. |
(2013年四川南充8分)如图,二次函数y=x2+bx-3b+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2,2b2-5b-1).
(1)求这条抛物线的解析式; (2)⊙M过A、B、C三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标; (3)连接AM、DM,将∠AMD绕点M顺时针旋转,两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F,若△DMF为等腰三角形,求点E的坐标. |
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