如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形ABCD的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米

如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形ABCD的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米

题型:不详难度:来源:
如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形ABCD的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米(0<x<4),矩形EFGH的面积为S米2

(1)求S与x的函数关系式;
(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/米2,黄色花草的价格为40元/米2.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号)?
答案
解:(1)连接AC、BD,

∵花坛为轴对称图形,
∴EH∥BD,EF∥AC。
∴△BEF∽△BAC。
∵∠ABC=60°,
∴△ABC、△BEF是等边三角形。
∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x,
在Rt△AEM中,∠AEM=∠ABD=30°,
则EM=AEcos∠AEM=x,∴EH=2EM=x.
∴S=(4﹣x)×x=﹣x2+4x。
(2)易求得菱形ABCD的面积为8cm2
由(1)得,矩形ABCD的面积为x2,则可得四个三角形的面积为(8+x2﹣4x),
设总费用为W,
则W=20(﹣x2+4x)+40(8+x2﹣4x)=20x2﹣80x+320
=20(x﹣2)2+240
∵0<x<4,∴当x=2时,W取得最小,W最小=240元。
∴当x为2时,购买花草所需的总费用最低,最低费用为240元。
解析

试题分析:(1)连接AC、BD,根据轴对称的性质,可得EH∥BD,EF∥AC,△BEF为等边三角形,从而求出EF,在Rt△AEM中求出EM,继而得出EH,这样即可得出S与x的函数关系式。
(2)根据(1)的答案,可求出四个三角形的面积,设费用为W,则可得出W关于x的二次函数关系式,利用配方法求最值即可。
举一反三
如图,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0).与y轴交于点C,顶点为D.

(1)求顶点D的坐标.(用含a的代数式表示);
(2)若△ACD的面积为3.
①求抛物线的解析式;
②将抛物线向右平移,使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P,且∠PAB=∠DAC,求平移后抛物线的解析式.
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如图,已知点A(0,4),B(2,0).

(1)求直线AB的函数解析式;
(2)已知点M是线段AB上一动点(不与点A、B重合),以M为顶点的抛物线y=(x﹣m)2+n与线段OA交于点C.
①求线段AC的长;(用含m的式子表示)
②是否存在某一时刻,使得△ACM与△AMO相似?若存在,求出此时m的值.
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若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列选项正确的是
A.a>0B.c>0C.ac>0D.bc<0

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如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.

(1)求菱形ABCD的周长;
(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;
(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.
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将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E.

(1)当m=3时,点B的坐标为       ,点E的坐标为         
(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
(3)如图,若点E的纵坐标为-1,抛物线(a≠0且a为常数)的顶点落在△ADE的内部,求a的取值范围.
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