解:(1)在菱形ABCD中, ∵AC⊥BD,AC=80,BD=60,∴。 ∴菱形ABCD的周长为200。 (2)过点M作MP⊥AD,垂足为点P. ①当0<t≤40时,如答图1,
∵, ∴MP=AM•sin∠OAD=t。 S=DN•MP=×t×t=t2。 ②当40<t≤50时,如答图2,MD=70﹣t,
∵, ∴MP=(70﹣t)。 ∴S△DMN=DN•MP=×t×(70﹣t)=t2+28t=(t﹣35)2+490。 ∴S关于t的解析式为。 当0<t≤40时,S随t的增大而增大,当t=40时,最大值为480; 当40<t≤50时,S随t的增大而减小,最大值不超过480。 综上所述,S的最大值为480。 (3)存在2个点P,使得∠DPO=∠DON。 如答图3所示,过点N作NF⊥OD于点F,
则NF=ND•sin∠ODA=30×=24, DF=ND•cos∠ODA=30×=18。 ∴OF=12。∴。 作∠NOD的平分线交NF于点G,过点G作GH⊥ON于点H, 则FG=GH。 ∴S△ONF=OF•NF=S△OGF+S△OGN=OF•FG+ON•GH=(OF+ON)•FG。 ∴。 ∴。 设OD中垂线与OD的交点为K,由对称性可知:∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG, ∴。 ∴PK=。 根据菱形的对称性可知,在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′。 ∴存在两个点P到OD的距离都是 |