如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.(1)求该抛物线的解
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.(1)求该抛物线的解
题型:不详
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax
2
+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等?若存在,请求出直线PE的解析式;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)由题意得:OC=4,OD=2,∴DM=OC+OD=6。
∴顶点M坐标为(2,6)。
设抛物线解析式为:y=a(x﹣2)
2
+6,
∵点C(0,4)在抛物线上,∴4=4a+6,解得a=
。
∴抛物线的解析式为:y=
(x﹣2)
2
+6=
x
2
+2x+4。
(2)如答图1,过点P作PE⊥x轴于点E.
∵P(x,y),且点P在第一象限,∴PE=y,OE=x。
∴DE=OE﹣OD=x﹣2.
∴S=S
梯形PEOC
﹣S
△
COD
﹣S
△
PDE
=
(4+y)•x﹣
×2×4﹣
(x﹣2)•y=y+2x﹣4。
将y=
x
2
+2x+4代入上式得:S=
x
2
+2x+4+2x﹣4=
x
2
+4x。
在抛物线解析式y=
x
2
+2x+4中,令y=0,即
x
2
+2x+4=0,解得x=2±
.
设抛物线与x轴交于点A、B,则B(2+
,0)。
∴0<x<2+
.
∴S关于x的函数关系式为:S=
x
2
+4x(0<x<2+
)。
(3)存在。若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等,可能有以下情形:
①OD=OP。
由图象可知,OP最小值为4,即OP≠OD,故此种情形不存在。
②OD=OE。
若点E在y轴正半轴上,如答图2所示,此时△OPD≌△OPE。
∴∠OPD=∠OPE,即点P在第一象限的角平分线上。
∴直线PE的解析式为:y=x。
若点E在y轴负半轴上,易知此种情形下,两个三角形不可能全等,故不存在。
③OD=PE。
∵OD=2,∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2。
∴点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合。
若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧,易知△OPE为钝角三角形,而△OPD为锐角三角形,则不可能全等。
若点P与点M重合,如答图3所示,此时△OPD≌OPE,四边形PDOE为矩形。
∴直线PE的解析式为:y=6。
综上所述,存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等,直线PE的解析式为y=x或y=6。
解析
试题分析:(1)首先求出点M的坐标,然后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)如答图1所示,作辅助线构造梯形,利用S=S
梯形PEOC
﹣S
△
COD
﹣S
△
PDE
求出S关于x的表达式;求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标,得到自变量的取值范围。
(3)由于三角形的各边,只有OD=2是确定长度的,因此可以以OD为基准进行分类讨论:
①OD=OP,因为第一象限内点P到原点的距离均大于4,因此OP≠OD,此种情形排除。
②OD=OE.分析可知,只有如答图2所示的情形成立。
③OD=PE.分析可知,只有如答图3所示的情形成立。
举一反三
崇左市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x
2
+4x(单位:米)的一部分.则水喷出的最大高度是
千米.
题型:不详
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抛物线y=﹣x
2
平移后的位置如图所示,点A,B坐标分别为(﹣1,0)、(3,0),设平移后的抛物线与y轴交于点C,其顶点为D.
(1)求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标;
(2)∠ACB和∠ABD是否相等?请证明你的结论;
(3)点P在平移后的抛物线的对称轴上,且△CDP与△ABC相似,求点P的坐标.
题型:不详
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如图①,AB是半圆O的直径,以OA为直径作半圆C,P是半圆C上的一个动点(P与点A,O不重合),AP的延长线交半圆O于点D,其中OA=4.
(1)判断线段AP与PD的大小关系,并说明理由;
(2)连接OD,当OD与半圆C相切时,求
的长;
(3)过点D作DE⊥AB,垂足为E(如图②),设AP=x,OE=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
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如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直线BC翻折,点A的对应点为D,抛物线y=ax
2
﹣10ax+c经过点C,顶点M在直线BC上.
(1)证明四边形ABCD是菱形,并求点D的坐标;
(2)求抛物线的对称轴和函数表达式;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△PBD与△PCD的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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在反比例函数
中,当x>0时,y随x的增大而增大,则二次函数y=m x
2
+m x的图象大致是下图中的
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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