直线与x、y轴分别交于点A、C.抛物线的图象经过A、C和点B(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点D,当D与直线AC的距离D
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直线与x、y轴分别交于点A、C.抛物线的图象经过A、C和点B(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点D,当D与直线AC的距离D
题型:不详
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来源:
直线
与x、y轴分别交于点A、C.抛物线的图象经过A、C和点B(1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点D,当D与直线AC的距离DE最大时,求出点D的坐标,并求出最大距离是多少?
答案
解:(1)在直线解析式
中,令x=0,得y=﹣2;令y=0,得x=4,
∴A(4,0),C(0,﹣2)。
设抛物线的解析式为y=ax
2
+bx+c,
∵点A(4,0),B(1,0),C(0,﹣2)在抛物线上,
∴
,解得
。
∴抛物线的解析式为:
。
(2)设点D坐标为(x,y),
。
在Rt△AOC中,OA=4,OC=2,由勾股定理得:AC=
。
如图,连接CD、AD,过点D作DF⊥y轴于点F,过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G,
则FD=x,DG=4﹣x,OF=AG=y,FC=y+2。
S
△
ACD
=S
梯形AGFC
﹣S
△
CDF
﹣S
△
ADG
=
(AG+FC)•FG﹣
FC•FD﹣
DG•AG
=
(y+y+2)×4﹣
(y+2)•x﹣
(4﹣x)•y
=2y﹣x﹣4
将
代入得:S
△
ACD
=2y﹣x﹣4=﹣x
2
+4x=﹣(x﹣2)
2
+4。
∴当x=2时,△ACD的面积最大,最大值为4。
当x=2时,y=1,∴D(2,1)。
∵S
△
ACD
=
AC•DE,AC=
,
∴当△ACD的面积最大时,高DE最大,
则DE的最大值为:
。
∴当D与直线AC的距离DE最大时,点D的坐标为(2,1),最大距离为
。
解析
试题分析:(1)首先求出点A,点C的坐标;然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)AC为定值,当DE最大时,△ACD的面积最大,因此只需要求出△ACD面积的最大值即可。如图所示,作辅助线,利用S
△
ACD
=S
梯形AGFC
﹣S
△
CDF
﹣S
△
ADG
求出S
△
ACD
的表达式,然后利用二次函数的性质求出最大值,并进而求出点D的坐标和DE的最大值。
举一反三
已知抛物线的顶点为(0,4)且与x轴交于(﹣2,0),(2,0).
(1)直接写出抛物线解析式;
(2)如图,将抛物线向右平移k个单位,设平移后抛物线的顶点为D,与x轴的交点为A、B,与原抛物线的交点为P.
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时,求此时k的值;
②是否存在这样的k值,使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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如图,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax
2
上,⊙P恒过点F(0,n),且与直线y=﹣n始终保持相切,则n=
(用含a的代数式表示).
题型:不详
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax
2
+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等?若存在,请求出直线PE的解析式;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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2
+4x(单位:米)的一部分.则水喷出的最大高度是
千米.
题型:不详
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抛物线y=﹣x
2
平移后的位置如图所示,点A,B坐标分别为(﹣1,0)、(3,0),设平移后的抛物线与y轴交于点C,其顶点为D.
(1)求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标;
(2)∠ACB和∠ABD是否相等?请证明你的结论;
(3)点P在平移后的抛物线的对称轴上,且△CDP与△ABC相似,求点P的坐标.
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