如图,抛物线y=a(x﹣h)2+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C.(1)求此抛物线的解析式.(2)在第一象限内的抛物线上
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如图,抛物线y=a(x﹣h)2+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C.(1)求此抛物线的解析式.(2)在第一象限内的抛物线上
题型:不详
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来源:
如图,抛物线y=a(x﹣h)
2
+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得△ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标.
(3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点?若是,请说明理由;若不是,请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标.
答案
解:(1)∵抛物线y=a(x﹣h)
2
+k顶点坐标为B(1,2),
∴y=a(x﹣1)
2
+2。
∵抛物线经过点A(0,1),∴a(0﹣1)
2
+2=1,解得a=﹣1。
∴此抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)
2
+2,即y=﹣x
2
+2x+1。
(2)∵A(0,1),C(1,0),∴OA=OC。
∴△OAC是等腰直角三角形。
过点O作AC的垂线l,根据等腰三角形的“三线合一”的性质知:l是AC的中垂线,
∴l与抛物线的交点即为点P。
如图,直线l的解析式为y=x,
解方程组
,
得
或
(不合题意舍去)。
∴点P的坐标为(
,
)。
(3)点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点.
由(1)知,点C的坐标为(1,0),
设直线AC的解析式为y=kx+b,
则
,解得
。
∴直线AC的解析式为y=﹣x+1.
设与AC平行的直线的解析式为y=﹣x+m.
解方程组
,代入消元,得﹣x
2
+2x+1=﹣x+m,即x
2
﹣3x+m﹣1=0。
∵此点与AC距离最远,∴直线y=﹣x+m与抛物线有且只有一个交点。
∴方程x
2
﹣3x+m﹣1=0有两个相等的实数根。
△=9﹣4(m﹣1)=0,解之得m=
。
∴x
2
﹣3x+
﹣1=0,解得x
1
=x
2
=
,此时y=
。
∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为(
,
)。
解析
试题分析:(1)由抛物线y=a(x﹣h)
2
+k的顶点坐标是B(1,2)知:h=1,k=2,则y=a(x﹣1)
2
+2,再把A点坐标代入此解析式即可。
(2)易知△OAC是等腰直角三角形,可得AC的垂直平分线是直线y=x,根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线y=x与抛物线的交点即为点P,解方程组即可求出P点坐标。
(3)先求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标,再与P点的坐标比较进行判断.满足条件的点一定是与直线AC平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的,易求出直线AC的解析式,设出与AC平行的直线的解析式,令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解,求出交点坐标,通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点。
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线
与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA.
(1)求点A的坐标和∠AOB的度数;
(2)若将抛物线
向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C.连接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,判断点C′是否在抛物线
上,请说明理由;
(4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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|
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已知二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是
A.图象关于直线x=1对称
B.函数ax
2
+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4
C.﹣1和3是方程ax
2
+bx+c(a≠0)的两个根
D.当x<1时,y随x的增大而增大
题型:不详
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|
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如图,抛物线y=ax
2
+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求证:AO=AM;
(3)探究:
①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时
的值;
②试说明无论k取何值,
的值都等于同一个常数.
题型:不详
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有下列4个命题:
①方程
的根是
和
.
②在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.若AD=4,BD=
,则CD=3.
③点P(x,y)的坐标x,y满足x
2
+y
2
+2x﹣2y+2=0,若点P也在
的图象上,则k=﹣1.
④若实数b、c满足1+b+c>0,1﹣b+c<0,则关于x的方程x
2
+bx+c=0一定有两个不相等的实数根,且较大的实数根x
0
满足﹣1<x
0
<1.
上述4个命题中,真命题的序号是
.
题型:不详
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|
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已知二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣4).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当y>﹣3,写出x的取值范围;
(3)A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值.
题型:不详
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