有下列4个命题:①方程的根是和.②在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.若AD=4,BD=,则CD=3.③点P(x,y)的坐标x,y满足x2+y2+2

有下列4个命题:①方程的根是和.②在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.若AD=4,BD=,则CD=3.③点P(x,y)的坐标x,y满足x2+y2+2

题型:不详难度:来源:
有下列4个命题:
①方程的根是
②在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.若AD=4,BD=,则CD=3.
③点P(x,y)的坐标x,y满足x2+y2+2x﹣2y+2=0,若点P也在的图象上,则k=﹣1.
④若实数b、c满足1+b+c>0,1﹣b+c<0,则关于x的方程x2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根,且较大的实数根x0满足﹣1<x0<1.
上述4个命题中,真命题的序号是   
答案
①②③④
解析

试题分析:①解方程可知,方程的根是。此命题正确。
②∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D, AD=4,BD=
∴根据射影定理CD 2=AD×BD,解得CD=3。故此命题正确。
③∵点P(x,y)的坐标x,y满足x2+y2+2x﹣2y+2=0,
∴(x+1)2+(y﹣1)2=0,解得:x=﹣1,y=1。∴xy=﹣1。
∵点P也在的图象上,∴k=﹣1。故此命题正确。
④∵实数b、c满足1+b+c>0,1﹣b+c<0,
∴y=x2+bx+c的图象如图所示,

∴关于x的方程x2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根,且较大的实数根x0满足﹣1<x0<1。故此选项正确。
综上所述,真命题的序号是①②③④。
举一反三
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣4).

(1)求该二次函数的解析式;
(2)当y>﹣3,写出x的取值范围; 
(3)A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值.
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直线与x、y轴分别交于点A、C.抛物线的图象经过A、C和点B(1,0).

(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点D,当D与直线AC的距离DE最大时,求出点D的坐标,并求出最大距离是多少?
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已知抛物线的顶点为(0,4)且与x轴交于(﹣2,0),(2,0).

(1)直接写出抛物线解析式;
(2)如图,将抛物线向右平移k个单位,设平移后抛物线的顶点为D,与x轴的交点为A、B,与原抛物线的交点为P.
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时,求此时k的值;
②是否存在这样的k值,使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax2上,⊙P恒过点F(0,n),且与直线y=﹣n始终保持相切,则n=   (用含a的代数式表示).

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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.

(1)求该抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等?若存在,请求出直线PE的解析式;若不存在,请说明理由.
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