如图,抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E.(1)求点

如图,抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E.(1)求点

题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E.

(1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式;
(2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标;
(3)是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
答案
(1)A(﹣2,0)、B(2,0)、C(0,4)。
y=﹣2x+4。
(2)△ODE的面积有最大值1。
点E的坐标为(1,2)。
(3)存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似。P1,P2理由见解析。
解析

试题分析:(1)在抛物线解析式y=﹣x2+4中,令y=0,解方程可求得点A、点B的坐标;令x=0,可求得顶点C的坐标.已知点B、C的坐标,利用待定系数法求出直线BC的解析式。
(2)求出△ODE面积的表达式,利用二次函数的性质求出最大值,并确定点E的坐标。
(3)本问为存在型问题.因为△OAC与△OPD都是直角三角形,需要分类讨论:
①当△PDO∽△COA时,由得PD=2OD,列方程求出点P的坐标;
②当△PDO∽△AOC时,由得OD=2PD,列方程求出点P的坐标。
解:(1)在y=﹣x2+4中,当y=0时,即﹣x2+4=0,解得x=±2;
当x=0时,即y=0+4,解得y=4。
∴点A、B、C的坐标分别为A(﹣2,0)、B(2,0)、C(0,4)。
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
,解得
∴直线BC的解析式为y=﹣2x+4。
(2)∵点E在直线BC上,∴设点E的坐标为(x,﹣2x+4)。
∴△ODE的面积S可表示为:
∴当x=1时,△ODE的面积有最大值1。
此时,﹣2x+4=﹣2×1+4=2,∴点E的坐标为(1,2)。
(3)存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似。理由如下:
设点P的坐标为(x,﹣x2+4),0<x<2.
因为△OAC与△OPD都是直角三角形,分两种情况:
①当△PDO∽△COA时,,即
解得(不符合题意,舍去)。
时,
∴此时,点P的坐标为
②当△PDO∽△AOC时,
解得(不符合题意,舍去)。
时,
∴此时,点P的坐标为
综上所述,满足条件的点P有两个:P1,P2
举一反三
如图,已知直线y=x与抛物线交于A、B两点.

(1)求交点A、B的坐标;
(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围;
(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.
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二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是
A.﹣1B.1C.3D.5

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“绿色出行,低碳健身”已成为广大市民的共识.某旅游景点新增了一个公共自行车停车场,6:00至18:00市民可在此借用自行车,也可将在各停车场借用的自行车还于此地.林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数,以及停车场整点时刻的自行车总数(称为存量)情况,表格中x=1时的y值表示7:00时的存量,x=2时的y值表示8:00时的存量…依此类推.他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系.
时段
x
还车数(辆)
借车数(辆)
存量y(辆)
6:00﹣7:00
1
45
5
100
7:00﹣8:00
2
43
11
n





根据所给图表信息,解决下列问题:
(1)m=   ,解释m的实际意义:   
(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式;
(3)已知9:00~10:00这个时段的还车数比借车数的3倍少4,求此时段的借车数.

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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是
A.a<0
B.b2﹣4ac<0
C.当﹣1<x<3时,y>0
D.

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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=2,OC=6,在OC上取点D将△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E点处,将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动,且一直角边始终经过点D,另一直角边所在直线与直线DE,BC分别交于点M,N.
(1)填空:D点坐标是(    ),E点坐标是(    );
(2)如图1,当点P在线段DA上移动时,是否存在这样的点M,使△CMN为等腰三角形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由;

(3)如图2,当点P在线段AB上移动时,设P点坐标为(x,2),记△DBN的面积为S,请直接写出S与x之间的函数关系式,并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围.

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