解:(1)∵抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧), ∴当y=0时,,解得x=3或x=﹣1。∴点B的坐标为(3,0)。 ∵,∴顶点D的坐标为(1,-4)。 (2)①如图,
∵抛物线与y轴交于点C, ∴C点坐标为(0,-3)。 ∵对称轴为直线x=1, ∴点E的坐标为(1,0)。 连接BC,过点C作CH⊥DE于H,则H点坐标为(1,﹣3), ∴CH=DH=1。 ∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°。 ∴CD=,CB=3,△BCD为直角三角形。 分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R。 ∵∠BDE=∠DCP=∠QCR, ∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP,∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP, ∴∠CDB=∠QCO。∴△BCD∽△QOC。∴。 ∴OQ=3OC=9,即Q(﹣9,0). ∴直线CQ的解析式为。 又直线BD的解析式为, 由方程组解得:。 ∴点P的坐标为(,)。 ②(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时, 若点N在射线CD上,如图,
延长MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G., ∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°, ∴△MCN∽△DBE。∴。∴MN=2CN。 设CN=a,则MN=2a。 ∵∠CDE=∠DCF=45°, ∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形。 ∴NF=CN=a,CF=a。∴MF=MN+NF=3a。∴MG=FG=a。 ∴CG=FG﹣FC=a。 ∴M(a,)。 代入抛物线,解得a=。, ∴M()。 若点N在射线DC上,如图,
MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G, ∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°, ∴△MCN∽△DBE,∴。 ∴MN=2CN。. 设CN=a,则MN=2a。 ∵∠CDE=45°, ∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形。, ∴NF=CN=a,CF=a。 ∴MF=MN﹣NF=a,∴MG=FG=a。∴CG=FG+FC=a。∴M(a,)。 代入抛物线,解得a=。 ∴M(5,12)。 (Ⅱ)当点M在对称轴左侧时, ∵∠CMN=∠BDE<45°,∴∠MCN>45°。 而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,∴点M不存在。 综上可知,点M坐标为()或(5,12)。 (1)解方程,求出x=3或﹣1,根据抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),确定点B的坐标为(3,0);将抛物线写成顶点式,即可确定顶点D的坐标。 (2)①根据抛物线,得到点C、点E的坐标.连接BC,过点C作CH⊥DE于H,由勾股定理得出CD=,CB=3,证明△BCD为直角三角形.分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R.根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC,则,得出Q的坐标(﹣9,0),运用待定系数法求出直线CQ的解析式为,直线BD的解析式为,解方程组,即可求出点P的坐标。 ②分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧两种情况进行讨论:(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时,分点N在射线CD上和点N在射线DC上两种情况讨论;(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时,由于∠BDE<45°,得到∠CMN<45°,根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN>45°,而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,所以点M不存在。 |