如图,已知抛物线与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且.点E为线段BC上的动点(点E不与点B,C重合),以E为顶点作,

如图,已知抛物线与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且.点E为线段BC上的动点(点E不与点B,C重合),以E为顶点作,

题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且.点E为线段BC上的动点(点E不与点B,C重合),以E为顶点作,射线ET交线段OB于点F.

(1) 求出此抛物线函数表达式,并直接写出直线BC的解析式;
(2)求证:
(3)当为等腰三角形时,求此时点E的坐标;
(4)点P为抛物线的对称轴与直线BC的交点,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以点A、M、N、P为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)y=x2-x-3 (2)通过角的等量代换证明角相等(3)或者
(4)M为
解析

试题分析:解:(1)OC=3OA=3
∴C为(0,-3)
∵抛物线过(-1,0)和(0,-3)


∴y=x2-x-3
BC:y=x-3
(2)∵OB=OC=3
∴∠OCB=∠OBC=45°
又∵∠OEF+∠BEF=∠COE+∠OCB
且∠OEF=45°
∴∠BEF=∠COE.
(3)①∵∠OFE=∠BEF+∠OBC>45°
∴∠OFE>∠OEF
∴OE>OF即OE≠OF.
②当OE=EF时,
∠BEF=∠COE,∠OCE=∠EBF
∴△COE≌△BEF(AAS)
∴BE=CO=3.
过E作ED ⊥x轴于D.



③当OF=EF时,则∠FOE=∠OEF=45°
∴∠OFE=90°.∴EF⊥OB.
∴E为BC的中点,∴E为
(4)对称轴为x=1,
∴P为(1,-2).
①AP为边,
此时P点纵坐标为2或-2,
令x2-2x-3=2
即x2-2x-5=0



令x2-2x-3=-2
即x2-2x-1=0



②AP为对角线,
设M为(x,0)
则N为(-x,-2)
∴x2+2x-3=-2
x2+2x-1=0


综上所述:M为
点评:该题较为复杂,主要考查学生对求二次函数解析式方法的掌握,以及在直角坐标系中分析函数与直线所都成几何图形点的坐标,需要考虑全面,分点论述。
举一反三
在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
题型:不详难度:| 查看答案
下列各图中有可能是函数,图象的是
题型:不详难度:| 查看答案
在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直角梯形AOCD的顶点A的坐标为
(0,),点D的坐标为(1,),点C轴的正半轴上,过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C,点PCD的中点.

(1)求抛物线的解析式及点P的坐标;
(2) 在轴右侧的抛物线上是否存在点Q,使以Q为圆心的圆同时与轴、直线OP相切.若存在,请求出满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点M为线段OP上一动点(不与O点重合),过点OMD的圆与轴的正半轴交于点N.求证:OM+ON为定值.
(4)在轴上找一点H,使∠PHD最大.试求出点H的坐标.
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如图,抛物线与x轴的两个交点A、B,与y轴交于点C,A点坐标为(4,0),C点坐标(0,-4).

(1)求抛物线的解析式;
(2)用直尺和圆规作出△ABC的外接圆⊙M,(不写作法,保留作图痕迹),并求⊙M的圆心M的坐标;
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在直角坐标系中,点C(,0),点D(0,1),CD的中垂线交CD于点E,交y轴于点B,点P从点C出发沿CO方向以每秒个单位的速度运动,同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动,当点Q到达点D时,点P,Q同时停止运动,设运动的时间为秒。

(1)求出点B的坐标。
(2)当为何值时,△POQ与△COD相似?
(3)当点P在x轴负半轴上时,记四边形PBEQ的面积为S,求S关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(4)在点P、Q的运动过程中,将△POQ绕点O旋转1800,点P的对应点P′,点Q的对应点Q′,当线段P′Q′与线段BE有公共点时,抛物线经过P′Q′的中点,此时的抛物线与x轴正半轴交于点M。由已知,直接写出:
的取值范围为                
②点M移动的平均速度是               
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