在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

答案

（1）
（2）存在点，使△ACP的面积最大
（3）存在点Q，坐标为：，

解析

试题分析：26．解：（1）由抛物线过点A（－3，0），B（1，0），
则　…………………………………………………………1分
解得 　………………………………………………………………2分
∴二次函数的关系解析式．…………………………3分
（2）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．…4分

设点P坐标为（m，n），则．
PM =，，AO=3．（5分）
当时，＝２．
∴OC=2．……………………………………………………………6分
＝
＝＝．8分
∵＝－１＜0，∴当时，函数有最大值．
此时＝． …………9分
∴存在点，使△ACP的面积最大．   ……………………………10分                  
（3）存在点Q，坐标为：，．　　　………………………12分
分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论可得出．
点评：此题难度比较适中，把二次函数的性质与图形的面积的求法相似结合，此题是区别学生程度的题目，成绩较好学生可以在平时练习中加强。