(1)已知方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1、x2,求证:x1+x2=-p,x1·x2=q.(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于点A、
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(1)已知方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1、x2,求证:x1+x2=-p,x1·x2=q.(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于点A、B,且过点(―1,―1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值并求出该最小值. |
答案
(1)由根与系数的关系 (2)当p=2时,d 2的最小值是4。 |
解析
试题分析:(1)证明:∵a=1,b=p,c=q,p2﹣4q≥0, ∴。 (2)解:把(﹣1,﹣1)代入y=x2+px+q得p﹣q=2,即q=p﹣2。 设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)。 ∵d=|x1﹣x2|, ∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4 x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4。 ∴当p=2时,d 2的最小值是4。 点评:本题考察抛物线,解本题要求考生掌握方程根与系数的关系,用配方法求二次函数的最值 |
举一反三
将抛物线向上平移3单位,得到的抛物线的解析式是____________. |
平移抛物线,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式_______ |
如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y 轴交于C点,且A(一1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)若将上述抛物线先向下平移3个单位,再向右平移2个单位,请直接写出平移后的抛物线的解析式. |
如图,当x=2时,抛物线取得最小值-1,并且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B(A在B的右边)。
(1)求抛物线的解析式; (2)D是线段AC的中点,E为线段AC上的一动点(不与A,C重合),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F。问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?若存在,请直接写出点p的坐标;若不存在,请说明理由。 |
抛物线向左平移8个单位,再向下平移9个单位后,所得抛物线关系式是( ) |
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