解:(1)∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A(3,0)和点B(0,3), ∴,解得。 ∴抛物线的解析式为:。 (2)∵,∴对称轴为x=1。 令,解得x1=3,x2=-1,∴C(-1,0)。 如图1所示,连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点,
由于A、C两点关于对称轴对称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小。 设直线AB的解析式为y=kx+b, 由A(3,0)、B(0,3)可得: ,解得。 ∴直线AB解析式为y=-x+3。 当x=1时,y=2,∴D点坐标为(1,2)。 (3)结论:存在。 如图2,设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点, 过点P作PN⊥x轴于点N,
则ON=x,PN=y,AN=OA-ON=3-x.
∵P(x,y)在抛物线上,∴,代入上式得: 。 ∴当x= 时,S△ABP取得最大值。 当x= 时,,∴P(, )。 ∴在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得△ABP的面积最大,P点的坐标为( ,)。 (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式。 (2)连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点.为求D点坐标,求出直线AB的解析式,然后令x=1求得y,即可求出D点坐标。 (3)求出△ABP的面积表达式.这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数,利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标。 |