已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0,1)、B(0,3),第三个顶点C在x轴的正半轴上.关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A、D(3,-2)、P

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0,1)、B(0,3),第三个顶点C在x轴的正半轴上.关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A、D(3,-2)、P

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已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0,1)、B(0,3),第三个顶点C在x轴的正半轴上.关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A、D(3,-2)、P三点,且点P关于直线AC的对称点在x轴上.

(1)求直线BC的解析式;
(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式及点P的坐标;
(3)设M是y轴上的一个动点,求PM+CM的取值范围.
答案
(1)(2).(3),当点的坐标是时,,当点的坐标是时,
解析
解:(1)
是等腰三角形,且点轴的正半轴上,

设直线的解析式为
直线的解析式为.····················· 4分
(2)抛物线关于轴对称,.············ 5分

又抛物线经过两点.
解得
抛物线的解析式是.······· 7分
中,,易得
中,,易得
的角平分线.
直线轴关于直线对称.
关于直线的对称点在轴上,则符合条件的点就是直线与抛物线的交点. 8分
在直线上,
故设点的坐标是
又点在抛物线上,
.解得
故所求的点的坐标是.··············· 10分
(3)要求的取值范围,可先求的最小值.
I)当点的坐标是时,点与点重合,故
显然的最小值就是点轴的距离为
轴上的动点,无最大值,.···· 13分
II)当点的坐标是时,由点关于轴的对称点,故只要求的最小值,显然线段最短.易求得
的最小值是6.
同理没有最大值,的取值范围是
综上所述,当点的坐标是时,
当点的坐标是时, .··············· 15分
(1)设直线解析式为,用待定系数法,由勾股定理得到点,而,把它们代入即可
   (2)关于对称,则对称轴,再把点的坐标代入即可;由于点P关于直线AC的对称点在x轴上,利用直角三角形三角函数,得出直线轴关于直线对称,则符合条件的点就是直线与抛物线的交点,把组成方程组,求方程组的解即可
(3)要求范围,要求边界值,即求PM+CM的最小值和最大值,当点的坐标是时,则,故最小值为,但没有最大值,故;当
的坐标是时,把点和点分到轴的两侧,两点间连线最短,连线与轴的交点就点的最小值是,同样没有最大值,故
举一反三
二次函数的最小值是  (     )
A.2B.2C.1D.1

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在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子,镜子的长与宽的比是2:1,已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是元,镜子的宽是米.
(1)求之间的关系式.
(2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.
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已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x=       ,满足y<0的x的取值范围是       ,将抛物线   平移   个单位,则得到抛物线.
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已知抛物线与它的对称轴相交于点,与轴交于,与轴正半轴交于
(1)求这条抛物线的函数关系式;
(2)设直线轴于是线段上一动点(点异于),过轴交直线,过轴于,求当四边形的面积等于时点的坐标.
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已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点,与x轴、y轴分别交于点M和N。
(1)设点P到x轴的距离为2,试求直线l的函数关系式;
(2)若线段MP与PN的长度之比为3:1,试求抛物线的函数关系式。
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