如图,已知平面直角坐标系中,点,为两动点,其中,连结,.(1)求证:;(2)当时,抛物线经过两点且以轴为对称轴,求抛物线对应的二次函数的关系式;(3)在(2)的

如图,已知平面直角坐标系中,点,为两动点,其中,连结,.(1)求证:;(2)当时,抛物线经过两点且以轴为对称轴,求抛物线对应的二次函数的关系式;(3)在(2)的

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如图,已知平面直角坐标系中,点为两动点,其中,连结
(1)求证:
(2)当时,抛物线经过两点且以轴为对称轴,求抛物线对应的二次函数的关系式;
(3)在(2)的条件下,设直线轴于点,过点作直线交抛物线于两点,问是否存在直线,使?若存在,求出直线对应的函数关系式;若不存在,请说明理由.
答案
(1)作轴于点,轴于点,
点坐标分别为
,易证
(2)由(1)得,,又
.又
坐标为坐标为
易得抛物线解析式为
(3)直线,且与轴交于点,
假设存在直线交抛物线于两点,且使,如图所示,
则有,作轴于点, 轴于点,

在抛物线上,坐标为
,易证

点坐标为点在抛物线上,
,解得坐标为
坐标为
易得直线
根据抛物线的对称性可得直线另解为
解析
(1)作BC⊥x轴于C点,AD⊥x轴于D点.因为,可得∠BOC+∠AOD=90°.因为BC⊥x,所以易证∠∠AOD=∠OBC,从而得△CBO∽△DOA,利用线段比求出mn.
(2)由(1)得m与BO的关系式,根据勾股定理得BO与n的关系式,从而建立m与n的一个关系式,然后利用(1)中mn=-6,求得m、n的值.然后得A,B的坐标以及抛物线解析式.
(3)利用待定系数法求出直线AB解析式,从而求出F点的坐标.过作PM⊥y轴于M点,QN⊥y轴于N点,根据同底等高的三角形面积比等于高的比得PM:QN=1:3.易证△PMF∽△QNF,设坐标为,易得QN、NF、ON的长,进而表示出点Q的坐标.因为点Q在二次函数上,所以求得t的值.从而得直线的解析式,根据对称性得到第二条直线的解析式.
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,点的坐标分别为
(1)请在图中画出,使得关于点成中心对称;
(2)若一个二次函数的图象经过(1)中的三个顶点,求此二次函数的关系式.
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已知点A(-2,-c)向右平移8个单位得到点,A与两点均在抛物线上,且这条抛物线与轴的交点的纵坐标为-6,求这条抛物线的顶点坐标.
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某宾馆有客房间,当每间客房的定价为每天元时,客房会全部住满.当每间客房每天的定价每涨元时,就会有间客房空闲.如果旅客居住客房,宾馆需对每间客房每天支出元的各种费用.
(1)请写出该宾馆每天的利润(元)与每间客房涨价(元)之间的函数关系式;
(2)设某天的利润为元,元的利润是否为该天的最大利润?如果是,请说明理由;如果不是,请求出最大利润,并指出此时客房定价应为多少元?
(3)请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润?
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若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数(   )
A.有最大值B.有最大值C.有最小值D.有最小值

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如图,圆B切y轴于原点O,过定点A(-,0)作圆B的切线交圆于点P,已知tan∠PAB=,抛物线C经过A、P两点。

(1)求圆B的半径.
(2)若抛物线C经过点B,求其解析式.
(3)设抛物线C交y轴于点M,若三角形APM为直角三角形,求点M的坐标.
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