已知二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴.一次函数的图象与二次函数的图象交于两点(在的左侧),且点坐标为.平行于轴的直线过点.(1)求一次函数与二次函数的解析式
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已知二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴.一次函数的图象与二次函数的图象交于两点(在的左侧),且点坐标为.平行于轴的直线过点.(1)求一次函数与二次函数的解析式
题型:不详
难度:
来源:
已知二次函数图象的顶点在原点
,对称轴为
轴.一次函数
的图象与二次函数的图象交于
两点(
在
的左侧),且
点坐标为
.平行于
轴的直线
过
点.
(1)求一次函数与二次函数的解析式;
(2)判断以线段
为直径的圆与直线
的位置关系,并给出证明;
(3)把二次函数的图象向右平移
个单位,再向下平移
个单位
,二次函数的图象与
轴交于
两点,一次函数图象交
轴于
点.当
为何值时,过
三点的圆的面积最小?最小面积是多少?
答案
(1)把
代入
得
,
一次函数的解析式为
;
二次函数图象的顶点在原点,对称轴为
轴,
设二次函数解析式为
,
把
代入
得
,
二次函数解析式为
.
(2)由
解得
或
,
,
过
点分别作直线
的垂线,垂足为
,
则
,
直角梯形
的中位线长为
,
过
作
垂直于直线
于点
,则
,
,
,
的长等于
中点到直线
的距离的2倍,
以
为直径的圆与直线
相切.
(3)平移后二次函数解析式为
,
令
,得
,
,
,
过
三点的圆的圆心一定在直线
上,点
为定点,
要使圆面积最小,圆半径应等于点
到直线
的距离,
此时,半径为2,面积为
,
设圆心为
中点为
,连
,则
,
在三角形
中,
,
,而
,
,
当
时,过
三点的圆面积最小,最小面积为
.
说明:本答案解答题中解法只给出了1种或2种,其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应分数.
解析
(1)已知了一次函数的图象经过A点,可将A点的坐标代入一次函数中,即可求出一次函数的解析式.由于抛物线的顶点为原点,因此可设其解析式为y=ax
2
,直接将A点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式;
(2)求直线与圆的位置关系需知道圆心到直线的距离和圆的半径长.由于直线l平行于x轴,因此圆心到直线l的距离为1.因此只需求出圆的半径,也就是求AB的长,根据(1)中两函数的解析式即可求出B点的坐标,根据A、B两点的坐标即可求出AB的长.然后判定圆的半径与1的大小关系即可;
(3)先设出平移后抛物线的解析式,不难得出平移后抛物线的对称轴为x=2.因此过F,M,N三点的圆的圆心必在直线x=2上,要使圆的面积最小,那么圆心到F点的距离也要最小(设圆心为C),即F,C两点的纵坐标相同,因此圆的半径就是2.C点的坐标为(2,1)(可根据一次函数的解析式求出F点的坐标).可设出平移后的抛物线的解析式,表示出MN的长,如果设对称轴与x轴的交点为E,那么可表示出ME的长,然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离.即t的值.(也可根据C点的坐标求出M,N点的坐标,然后用待定系数法求出平移后的抛物线的解析式,经过比较即可得出平移的距离,即t的值).
举一反三
如图二次函数
的图象经过
和
两点,且交
轴于点
.
(1)试确定
、
的值;
(2)过点
作
轴交抛物线于点
点
为此抛物线的顶点,试确定
的形状.
参考公式:顶点坐标
题型:不详
难度:
|
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某工厂生产的某种产品按质量分为
个档次,生产第一档次(即最低档次)的产品一天生产
件,每件利润
元,每提高一个档次,利润每件增加
元.
(1)每件利润为
元时,此产品质量在第几档次?
(2)由于生产工序不同,此产品每提高一个档次,一天产量减少
件.若生产第
档的产品一天的总利润为
元(其中
为正整数,且
≤
≤
),求出
关于
的函数关系式;若生产某档次产品一天的总利润为
元,该工厂生产的是第几档次的产品?
题型:不详
难度:
|
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抛物线
交
轴于
、
两点,交
轴于点
,已知抛物线的对称轴为
,
,
,
(1)求二次函数
的解析式;
在抛物线对称轴上是否存在一点
,使点
到
、
两点距离之差最大?若存在,求出
点坐标;若不存在,请说明理由;
平行于
轴的一条直线交抛物线于
两点,若以
为直径的圆恰好与
轴相切,求此圆的半径.
题型:不详
难度:
|
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已知圆
P
的圆心在反比例函数
图象上,并与
x
轴相交于
A
、
B
两点. 且始终与
y
轴相切于定点
C
(0,1).
(1)求经过
A
、
B
、
C
三点的二次函数图象的解析式;
(2)若二次函数图象的顶点为D,问当
k
为何值时,四边形
ADBP
为菱形.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系
中,半径为1的圆的圆心
在坐标原点,且与两坐标轴分别交于
四点.抛物线
与
轴交于点
,与直线
交于点
,且
分别与圆
相切于点
和点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交
轴于点
,连结
,并延长
交圆
于
,求
的长.
(3)过点
作圆
的切线交
的延长线于点
,判断点
是否在抛物线上,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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