已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将R

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已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）（，3）（2）（3）存在，（，）

解析

解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=。
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=，∠AOC=60°。
∴OH=，CH="3" 。
∴C的坐标是（，3）。  
（2）∵抛物线经过C（，3）、A（，0）两点，
∴，解得。∴此抛物线的解析式为
（3）存在。
∵的顶点坐标为（，3），即为点C。
MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，
∵∠BOA＝30⁰，所以ON＝
∴P（）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E。
把代入得：。
∴ M（，），E（，）。
同理：Q（，t），D（，1）。
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，
即，解得：，（舍去）。
∴ P点坐标为（，）。
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）。
（1）过C作CH⊥OA于H，根据折叠得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可。
（2）把C（，3）、A（，0）代入得到方程组，求出方程组的解即可。
（3）如图，根据等腰梯形的判定，只要CE＝QD即可，据此列式求解。