如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．（1）

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

答案

（1）y=x²﹣4x﹣5（2）y=﹣x﹣1 (3) 直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形

解析

解：（1）在y=x²﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5。
∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1。∴A（﹣1，0）。
把A（﹣1，0）代入y=x²﹣bx﹣5得（﹣1）²+b﹣5=0，解得b=4。
∴抛物线的解析式为y=x²﹣4x﹣5。
（2）∵y=x²﹣4x﹣5=（x﹣2）²﹣9，∴抛物线的的对称轴为x=2。
∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）。
设直线AF的解析式为y=kx+b，
把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得
，解得。∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1。
（3）存在。理由如下：
①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）。∴P（0，﹣1）。
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P。
设P（x₁，﹣x₁﹣1），
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），
∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。
∴点P在抛物线的对称轴上。∴x₁=2。
把x₁=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3。∴P（2，﹣3）。
综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形。
（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式。
（2）由y=x²﹣4x﹣5=（x﹣2）²﹣9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。
（3）分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可。