如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶

题型：不详难度：来源：

如图所示，抛物线m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C_1，与x轴的另一个交点为A₁.

(1)当a=－1,b=1时，求抛物线n的解析式；
(2)四边形AC₁A₁C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；
(3)若四边形AC₁A₁C为矩形，请求出a,b应满足的关系式.

答案

(1)  (2) 平行四边形，理由见解析 (3)

解析

解：（1）当时，抛物线的解析式为：.
令，得：.    ∴C（0,1）.
令，得：.   ∴A（-1,0），B（1,0）
∵C与C₁关于点B中心对称，
∴抛物线的解析式为： ………4分
（2）四边形AC₁A₁C是平行四边形.              ………5分
理由：∵C与C₁、A与A₁都关于点B中心对称，
∴,
∴四边形AC₁A₁C是平行四边形.        ………8分
（3）令，得：.    ∴C（0,）.
令，得：,  ∴,
∴,                ………9分
∴.
要使平行四边形AC₁A₁C是矩形，必须满足,
∴，   ∴，
∴.
∴应满足关系式.             ………10分
（1）通过a=－1,b=1，求得抛物线的解析式，从而求得A、B、C的坐标，根据对称性求得抛物线的解析式
(2) 根据对称性求得四边形AC₁A₁C是平行四边形
（3）通过抛物线求得A、B的坐标，求得AB、BC长，要使平行四边形AC₁A₁C是矩形，必须满足，从而求得a,b的关系式