如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标;(2)求经过点A.O、B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对

如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标;(2)求经过点A.O、B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对

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如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A.O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
      
答案
解:(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4,
∴OC=OB=×4=2,BC=OB•sin60°=
∴点B的坐标为(﹣2,﹣)。
(2)∵抛物线过原点O和点A.B,
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,将A(4,0),B(﹣2,﹣)代入,       
,解得
∴此抛物线的解析式为
(3)存在。
如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,
设点P的坐标为(2,y)。

①若OB=OP,则22+|y|2=42,解得y=±
当y=时,
在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD=
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即P、O、B三点在同一直线上。
∴y=不符合题意,舍去。
∴点P的坐标为(2,﹣)。
②若OB=PB,则42+|y+|2=42,解得y=﹣
∴点P的坐标为(2,﹣)。
③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+|2,解得y=﹣
∴点P的坐标为(2,﹣)。
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣)。
解析
(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标。
(2)已知O、A、B三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(3)根据(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而O、B坐标已知,可先表示出△OPB三边的边长表达式,然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P点。
举一反三
如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.
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已知二次函数y=2(x﹣3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3,﹣1);④当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有【   】
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
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二次函数的图象如图,若一元二次方程有实数根,则的最大值为【   】
A.B.3C.D.9

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将抛物线向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为【   】
A.B.C.D.

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