已知二次函数:(1) 证明:当m为整数时,抛物线与x轴交点的横坐标均为整数;(2) 以抛物线的顶点A为等腰Rt△的直角顶点,作该抛物线的内接等腰Rt△ABC(B
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已知二次函数:(1) 证明:当m为整数时,抛物线与x轴交点的横坐标均为整数;(2) 以抛物线的顶点A为等腰Rt△的直角顶点,作该抛物线的内接等腰Rt△ABC(B
题型:不详
难度:
来源:
已知二次函数
:
(1) 证明:当m为整数时,抛物线
与x轴交点的横坐标均为整数;
(2) 以抛物线
的顶点A为等腰Rt△的直角顶点,作该抛物线的内接等腰Rt△ABC(B、C两点在抛物线上),求Rt△ABC的面积(图中给出的是m取某一值时的示意图);
(3) 若抛物线
与直线y=7交点的横坐标均为整数,求整数m的值.
答案
(1)证明:令
,解得抛物线与
轴交点的横坐标x,
,
∵m是整数,∴
是整数,∴
均为整数
(2) 求得顶点A(2m,
),根据抛物线的轴对称性,所以BC平行x轴,
作AD⊥BC,设B(a,b),则D在对称轴上,D(2m,b),
则BD=2m-a,(2m>a),
AD=
-b
=
=(2m-a)
2
∵AD=BD, ∴(2m-a)
2
=(2m-a), 解得2m-a=1或2m-a=0(舍去)
∴S
△ABC
=
BCAD=
×2BD×AD=1
(3)由
,
,
当x为整数时,须
为完全平方数,设
(n是整数)整理得:
即
两个整数的积为7,∴
~
~
~
解得:
综上得: m=3或m=-1
∴抛物线与直线y=7交点的横坐标均为整数时,m=3或m=-1.
解析
(1)表示出横坐标,然后分析是整数;
(2)得出BC平行x轴、D在对称轴上是求三角形面积的关键;
(3)当x为整数时,
为完全平方数,然后根据两个整数的积=7求解。
举一反三
已知抛物线y=ax
2
+bx+c ,当x=0时,有最小值为1 ;且在直线y=2上截得的线段长为4 .
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点P是抛物线的任意一点,记点P到X轴的距离为d
1
,点P 与点 F (0,2)的距离为d
2
,猜想d
1
、 d
2
的大小关系,并证明;
(3)若直线PF交此抛物线于另一点Q(异于P点)。 试判断以PQ为直径的圆与x 轴的位置关系,并说明理由。
题型:不详
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二次函数的解析式为
,则它图象的顶点坐标是( )
A.(-2,1)
B.(2,-1)
C.(2, 1)
D.(1,2 )
题型:不详
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函数
y
=
x
2
-4
x
+3化成
y
=(
x
+
m
)
2
+
k
的形式是 ( )
A.
y
=(
x
-2)
2
-1
B.
y
=(
x
+2)
2
-1
C.
y
=(
x
-2)
2
+7
D.
y
=(
x
+2)
2
+7
题型:不详
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将抛物线
先向上平移3个单位,再向左平移2个单位所得的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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二次函数
的图象如图所示,则下列结论:
①
,②
,③
,④
,⑤
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
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