已知：抛物线与x轴正半轴相交于点A，点B（m，-3）为抛物线上一点，△OAB的面积等于6．（1）求该抛物线的表达式和点B的坐标；（2）设C为该抛物线的顶点，⊙C

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已知：抛物线与x轴正半轴相交于点A，点B（m，-3）为抛物线上一点，△OAB的面积等于6．

（1）求该抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）设C为该抛物线的顶点，⊙C的半径长为2．以该抛物线对称轴上一点P为圆心，线段PO的长为半径作⊙P，如果⊙P与⊙C相切，求点P的坐标．

答案

（1），（1，-3）或（3，-3）（2）（2，0）、（2，）

解析

解：（1）当y = 0时，得  x₁ = 0，x₂ = b． ……………………………………（1分）
∴ A（b，0），且b > 0．即得 OA = b．
由  △OAB的面积等于6，B（m，-3），
得 ．………………………………………………（1分）
解得 b = 4．
∴ A（4，0），抛物线的表达式为．……………………（2分）
∵ 点B（m，-3）在抛物线上，
∴ ．
解得 ，．
∴ 点B的坐标为（1，-3）或（3，-3）．…………………………（2分）
（2）∵ ，
∴ 抛物线的顶点为C（2，-4），对称轴为直线x = 2．……………（1分）
设P（2，n）．即得 ．…………………………………（1分）
当⊙P与⊙C相切时，有外切或内切两种情况，并且n > -4．
（ⅰ）如果⊙P与⊙C外切，那么 PC = PO +2．
即得 ．
解得 n = 0．
∴ P（2，0）．…………………………………………………………（2分）
（ⅱ）如果⊙P与⊙C内切，那么 ．
即得 ．解得 ．
∴ P（2，）．………………………………………………………（2分）
∴ 所求点P的坐标为（2，0）、（2，）．
（1）根据三角形OAB的面积等于6可以求得b = 4的值，从而可知抛物线的解析式；
（2）注意两圆相切有内切和外切两种情况。