已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1,此抛物线与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.△ABC的面积等于1.5.(1)请求出抛物线的解

已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1,此抛物线与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.△ABC的面积等于1.5.(1)请求出抛物线的解

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已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1,此抛物线与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.△ABC的面积等于1.5.
(1)请求出抛物线的解析式,并求出点A的坐标.
(2)在抛物线上是否存在点M,使得△MAB的面积等于△ABC的面积.如果存在,求出符合条件的点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交x轴于点Q,连接BQ.
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置.其中,一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一 个顶点E在PQ上.请求出此时点Q的坐标和直线BQ的函数解析式;

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上,另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.
答案

(1)        A(0 ,4 )
(2) ( -3, -1 )     ( 4,3/4)
(3)①Q(4,0)   直线BQ的解析式为:y=-x+4;
②P1(1+),P2(1+3,-),P3(1-),
P4(1-3,-
解析
(1)有抛物线的对称轴方程可求出b的值,通过△ABC的面积求得c的值,进而求出抛物线的解析式和点A的坐标;
(2)假设在抛物线上是存在点M,使得△MAB的面积等于△ABC的面积,那么利用同底的三角形,只要证明点C到AB的距离等于M到AB的距离即可,解得。
(3)由题中条件可知点C的横坐标为顶点B的横坐标,然后利用E点与PQ共线得到点E的横坐标,然后借助于直角三角形的垂直关系,可知道点Q的坐标,从而得到直线BQ的方程,同理可知道点P的坐标。
(3)①由△CDE是等腰直角三角形,分别过点D作x轴和PQ的垂线,通过三角形全等得到∠DQO=45°,求出点Q的坐标,然后用待定系数法求出BQ的解析式.
②分点P在对称轴的左右两边讨论,根据相似三角形先求出点Q的坐标,然后代入抛物线求出点P的坐标.
举一反三
若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A(﹣1,y1),B(2,y2),Cy3),则y1y2y3的大小关系是( ▲ )
A.y1y2y3B.y1y3y2C.y2y1y3D.y3y1y2

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如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和
矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的
距离是11m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知从某时刻开始的40h内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足函数
关系且当水面到顶点C的距离不大于5m时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?
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如图1,点A为抛物线C1的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.
(1)求点C的坐标;
(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y轴的直线x=a
交直线AB于F,交抛物线C1于G,若FG:DE=4∶3,求a的值;
(3)如图2,将抛物线C1向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为点P,交x轴
于点M,交射线BC于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值.

图1                             图2
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在平面直角坐标系中,将抛物线先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线解析式为
A.B.
C.D.

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如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A,B两点,点A在轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合),过点P作轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D
(1)求的值
(2)设点P的横坐标为
①用含的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把分成两个三角形,是否存在适合的值,使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在,直接写出值;若不存在,说明理由.

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