如图，已知抛物线经过A（3，0）、B（0，4）（1）求此抛物线的解析式;（2）若抛物线与轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点的坐标;（3）若点C是第二

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线经过A（3，0）、B（0，4）
（1）求此抛物线的解析式;
（2）若抛物线与轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点的坐标;
（3）若点C是第二象限内一点，以点D为圆心的圆分别与轴、轴、直线AB相切于点E、F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大？若存在，求出该最大值;若不存在，请说明理由。

答案

（1）（2）（，）（3）存在，

解析

解：（1）由题意得：    解得：
∴抛物线解析式为.················· 3分
（2）令，得

解得：，=3.
∴C点坐标为（1，0）.  ············· 4分
作CQ⊥AB，垂足为Q，延长CQ，使CQ=Q，则点
就是点C关于直线AB的对称点．
由△ABC的面积得：
,
∵CA=2，
∴CQ=，=.  ························· 6分
作T⊥轴，垂足为T，则△∽△BOA.
∴    ∴=，=
∴=1+=  ∴点的坐标为（，） ··········· 8分
（3）设⊙D的半径为，∴AE=+3，BF=4－，HB=BF=4－.
∵AB=5，且AE=AH,
∴+3=5+4－,

∴=3．   ············· 10分
HB=4－3=1.
作HN⊥轴，垂足为N，
则，,
∴HN=，BN=,
∴H点坐标为（，）.······ 12分
根据抛物线的对称性，得PA=PC,
∵,
∴当H、C、P三点共线时，最大.
∵HC==,
∴的最大值为.
（1）用待定系数法求得抛物线解析式
（2）求出C点坐标，作CQ⊥AB，垂足为Q，延长CQ，使CQ=C"Q，则点C’就是点C关于直线AB的对称点．通过△ABC的面积，求出，作T⊥轴，垂足为T，通过△∽△BOA.求出、，从而得出结论
（3）设⊙D的半径为，通过AB=5，且AE=AH,求得=3，作HN⊥轴，垂足为N，通过△HNB∽△OAB，求得H点坐标，根据抛物线的对称性，得PA=PC,当H、C、P三点共线时，最大.利用勾股定理求出HC的长，即为最大值