如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4). 动点P从A点
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如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4). 动点P从A点
题型:不详
难度:
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如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为
,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4). 动点P从A点出发,在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发,在折线BCD上匀速运动,速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时,另一动点也停止运动. 设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为S(不能构成△OPQ的动点除外).
小题1:求出点C的坐标
小题2:求S随t变化的函数关系式;
小题3:当t为何值时,S有最大值?并求出这个最大值
答案
小题1:把y=4代入y=-
x+
,得x=1.
∴C点的坐标为(1,4).
小题2:当y=0时,-
x+
=0,
∴x=4.∴点B坐标为(4,0).
过点C作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3.
∴BC=
=
=5.
∴sin∠ABC=
=
.
① 0<t<4时,过Q作QN⊥OB于N,
②
则QN=BQ·sin∠ABC=
t.
∴S=
OP·QN=
(4-t)×
t =-
t
2
+
t(0<t<4). ……………2分
②当4<t≤5时,
连接QO,QP,过点Q作QN⊥OB于N.
同理可得QN=
t.
∴S=
OP·QN=
×(t-4)×
t.
=
t
2
-
t(4<t≤5). …………………………….3分
③当5<t≤6时,
连接QO,QP.
S=
×OP×OD=
(t-4)×4.
=2t-8(5<t≤6). ……………………………….4分
S随t变化的函数关系式是
.
小题3:①当0<t<4时,
∵-
<0
当t=
=2时,
S
最大
=
=
. ……………………………5分
②当4<t≤5时, S=
t
2
-
t,对称轴为t=-
=2,
∵
>0
∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大.
∴当t=5时,S
最大
=
×5
2
-
×5=2. …………………………..6分
③当5<t≤6时,
在S=2t-8中,∵2>0,∴S随t的增大而增大.
∴当t=6时,S
最大
=2×6-8=4. …………………………………………7分
∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是4. ………………………8分
解析
(1)把y=4代入直线解析式,即可求得点C的坐标;
(2)作垂线构建直角三角形,利用勾股定理和三角函数、面积的有关计算求得函数解析式,注意t的取值范围不同,S的解析式就不同。
(3)根据(2)中的三种情况,分别求出S的最大值。
举一反三
如图4,一次函数y
1
=mx+n(m≠0)与二次函数y
2
=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象相交于两点A(-1,5)、B(9,3),请你根据图象写出使y
1
≥y
2
成立的x的取值范围
A.-1≤x≤9
B.-1≤x<9
C.-1<x≤9
D.x≤-1或x≥9
题型:不详
难度:
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如图18-1所示,已知二次函数
与x轴分别交于点A(2,0)、
B(4,0),与y轴交于点C(0,-8t)(t>0)
小题1:求a、c的值及抛物线顶点D的坐标(用含t的代数式表示);
小题2:如图18-1,连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数t的值;
小题3:如图18-2,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,-4)、(4,-3),边HG位于边EF的右侧.若点P是边EF或边FG上的任意一点(不与E、F、G重合),请你说明以PA、PB、PC、PD的长度为边长不能构成平行四边形;
小题4:将(3)中的正方形EFGH水平移动,若点P是正方形边FG或EH上任意一点,在水平移动过程中,是否存在点P,使以PA、PB、PC、PD的长度为边长构成平行四边形,其中PA、PB为对边.若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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如图,把…张长10cm,宽8cm的矩形硬纸枥的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
小题1:要使长方体盒子的底面积为48cm
2
,那么剪去的正方形的边长为多少?
小题2:你感到折合而成的长方体盒子的侧面积(不含底面)会不会有最大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由
题型:不详
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如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OMN的斜边ON在x轴上,顶点M的坐标为(3,3),MH为斜边上的高.过N点垂直于x轴的直线与抛物线
y=" -" 4x点D.直线OD的解析式为
,点P(x,o)是x轴上一动点,过点P作y轴的平行线,交射线OM与点E.
小题1:直接写出点D的坐标及n的值
小题2:判断抛物线的顶点是否在直线OM上?并说明理由
小题3:设以M、E、H、N为顶点的四边形的面积为S.当x≠3[时,求S与x的函数关系式.
题型:不详
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抛物线
上最高点的坐标为( ▲ )
A.(-2,3)
B.(2,3)
C.(-2,-3)
D.(2,-3)
题型:不详
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