已知一次函数y1 = 2x和二次函数y2 = x2 + 1。小题1:求证：函数y1、y2的图像都经过同一个定点；小题2:求证：在实数范围内，对于任意同一个x的值

题型：不详难度：来源：

已知一次函数y₁ = 2x和二次函数y₂ = x² + 1。
小题1:求证：函数y₁、y₂的图像都经过同一个定点；
小题2:求证：在实数范围内，对于任意同一个x的值，这两个函数所对应的函数值y₁ ≤ y₂总成立；
小题3:是否存在抛物线y₃ = ax² + bx + c，其图象经过点(5，2)，且在实数范围内，对于同一个x的值，这三个函数所对应的函数值y₁ ≤ y₃ ≤ y₂总成立？若存在，求出y₃的解析式；若不存在，说明理由。

答案

小题1:如果经过同一点，那么y₁=y₂，即2x= x² + 1
x=1
把x=1代入到一次函数中得  y=2
∴函数y₁、y₂的图像都经过同一个定点（1，2）（3分）
小题2:∵y₂- y₁= x² + 1-2x= （x-1）²≥0
∴在实数范围内，对于任意同一个x的值，这两个函数所对应的函数值y₁ ≤ y₂总成立；（3分）
小题3:存在
∵三个函数所对应的函数值y₁ ≤ y₃ ≤ y₂总成立
∴抛物线y₃ = ax² + bx + c也必经（1，2）
把（1，2）和（-5，2）代入抛物线y₃ = ax² + bx + c中解得：
（4分）

解析

（1）利用y₁=y₂，求出定点的坐标从而得证；
（2）求出y₂- y₁关于x的方程进行变形讨论出结论；
（3）要符合y₁ ≤ y₃ ≤ y₂条件，就必然得出抛物线y₃ = ax² + bx + c也必经（1，2），然后把（1，2）和（-5，2）代入就得出解析式。