小题1:证明:∵四边形OABC为矩形 ∴∠OAP=∠QBP=90°, ∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP ∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ ∴ ∴OA·BQ=AP·BP ----------------------3分 小题2:由(1)知OA·BQ=AP·BP ∴3×BQ="m(4-m) " ∴BQ= ∴CQ=3-= 即L= (0<m<4) = ∴当m="2" 时, L(最小)= -----------------6分 小题3:∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形,则PO="PQ" . 当点P在线段AB上时,如图 △ AOP≌△BPQ ∴PB="AO=3 " △ ∴AP=4-3=1 ∴(1,3) 当点P在线段AB的延长线上时,如图 此时△QBP≌△PAO ∴PB="AO=3 " ∴AP="4+3=7 " ∴(7,3) 当点P在线段AB的反向延长线上时,如图
此时∵PB>AB>AO, ∴△PQB不可能与△OPA全等, 即PQ不可能与PO相等, 此时点P不存在. 综上所述,知存在(1,3), (7,3). ---------------9分 |