(2011•常德)如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,).(1)求抛物线的解析式;(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交

(2011•常德)如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,).(1)求抛物线的解析式;(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交

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(2011•常德)如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,求证:∠CFE=∠AFE;
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似,若有请求出所有和条件的点P的坐标,若没有,请说明理由.
答案
(1)解:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将A、B、C三点坐标代入,得

解得
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+6;
(2)证明:设直线AC的解析式y=mx+n,
将A、C两点坐标代入,得,解得,∴y=﹣x+6,
∵y=x2﹣4x+6=(x﹣4)2﹣2,∴D(4,﹣2),E(4,4),
∵F与E关于D对称,∴F(4,﹣8),则直线AF的解析式为y=﹣x+6,CF的解析式为y=﹣22,
∴直线AF,CF与x轴的交点坐标分别为(,0),(,0),
∵4﹣=﹣4,∴两个交点关于抛物线对称轴x=4对称,∴∠CFE=∠AFE;
(3)解:存在.设P(0,d),则AP=|6﹣d|,AF==2
FD=﹣2﹣(﹣8)=6,CF==
当△AFP∽△FDC时,=,即=,解得d=或﹣
当△AFP∽△FCD时,=,即=,解得d=﹣2或14,
∴P点坐标为(0,)或(0,﹣)或(0,﹣2)或(0,14).
解析

举一反三
(2011?温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是(  )
A.有最小值0,有最大值3B.有最小值﹣1,有最大值0
C.有最小值﹣1,有最大值3D.有最小值﹣1,无最大值

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(2011•宁夏)在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.动点M、N分别在两腰AB、AC上(M不与A、B重合,N不与A、C重合),且MN∥BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P.
(1)当MN为何值时,点P恰好落在BC上?
(2)当MN=x,△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式.当x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
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(2011年青海,18,3分)将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后,得到的函数解析式是(  )
A.y=2x2+2B.y=2(x+2)2C.y=(x-2)2D.y=2x2-2

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(2011年青海,28,12分已知一元二次方程x2-4x+3=0的两根是m,n且m<n.如图12,若抛物线y=-x2+bx
+c的图像经过点A(m,0)、B(0,n).
(1)求抛物线的解析式.
(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答,当x取何值时,抛物线的图像在直线BC的上方?
(3)点P在线段OC上,作PE⊥x轴与抛物线交与点E,若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分,求点P的坐标.
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(2011•陕西)若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A(﹣1,y1),B(2,y2),C(,y3),则y1,y2,y3的大小关系是(  )
A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3D.y3>y1>y2

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