已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与

题型：不详难度：来源：

已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）

（1）（2分）求点A、E的坐标；
（2）（2分）若y=过点A、E，求抛物线的解析式。
（3）（5分）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由

答案

（1）E（0，）
（2）y=
（3）在

解析

解：（1）连结AD，不难求得A（1，2）
OE=，得E（0，）
（2）因为抛物线y=过点A、E
由待定系数法得：c=，b=
抛物线的解析式为y=
（3）大家记得这样一个常识吗？
“牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短？”即确定l上的点P
方法是作点A关于l的对称点A"，连结A"B与l的交点P即为所求.
     
本题中的AC就是“河”，B、D分别为“出发点”和“草地”。
由引例并证明后，得先作点D关于AC的对称点D"，
连结BD"交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，

即△PBD的周长L取最小值。
不难求得∠D"DC=30º
DF=，DD"=2
求得点D"的坐标为（4，）
直线BD"的解析式为：x+
直线AC的解析式为：
求直线BD"与AC的交点可得点P的坐标（，）。
此时BD"===2
所以△PBD的最小周长L为2+2
把点P的坐标代入y=成立，所以此时点P在抛物线上。