解:⑴令, 解得:, ∴A(-1,0),B(3,0) 2分 ∵=, ∴抛物线的对称轴为直线x=1, 将x=1代入,得y=2, ∴C(1,2). 3分 ⑵①在Rt△ACE中,tan∠CAE=, ∴∠CAE=60º, 由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线, ∴AC=BC, ∴△ABC为等边三角形, 4分 ∴AB=" BC" ="AC" = 4,∠ABC=∠ACB= 60º, 又∵AM=AP,BN=BP, ∴BN = CM, ∴△ABN≌△BCM, ∴AN="BM. " 5分 ②四边形AMNB的面积有最小值. 6分 设AP=m,四边形AMNB的面积为S, 由①可知AB=" BC=" 4,BN = CM=BP,S△ABC=×42=, ∴CM="BN=" BP=4-m,CN=m, 过M作MF⊥BC,垂足为F,
则MF=MC•sin60º=, ∴S△CMN==•=, 7分 ∴S=S△ABC-S△CMN =-() = 8分 ∴m=2时,S取得最小值3. 9分 |