解:(1) ∵ 点O是AB的中点, ∴ . ……1分 设点B的横坐标是x(x>0),则, ……1分 解得 ,(舍去). ∴ 点B的横坐标是. ……2分 (2) ① 当,,时,得 ……(*) . ……1分 以下分两种情况讨论. 情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为,……1分
由此,可求得点C的坐标为(,), ……1分 点A的坐标为(,), ∵ A,B两点关于原点对称, ∴ 点B的坐标为(,). 将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标; 将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标. ∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上. ……2分 情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-), 点A的坐标为(,),点B的坐标为(,).
经计算,A,B两点都不在这条抛物线上. ……1分 (情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上) ② 存在.m的值是1或-1. ……2分 (,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上) |