①∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3, ∴AB=4, ∴对称轴x=-=1, 即2a+b=0; ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0,而->0 ∴b<0, ∵对称轴x=1, ∴当x=1时,y<0, ∴a+b+c<0;
③∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3, ∴当x=2时y<0, ∴4a+2b+c<0, 又∵b<0, ∴4a+b+c<0;
④要使△ABD为等腰直角三角形,必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半; D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值. 当x=1时,y=a+b+c, 即|a+b+c|=2, ∵当x=1时y<0, ∴a+b+c=-2 又∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3, ∴当x=-1时y=0即a-b+c=0; x=3时y=0. ∴9a+3b+c=0, 解这三个方程可得:b=-1,a=,c=-;
⑤要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC, 当AB=BC=4时, ∵AO=1,△BOC为直角三角形, 又∵OC的长即为|c|, ∴c2=16-9=7, ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上, ∴c=-, 与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组,解得a=; 同理当AB=AC=4时 ∵AO=1,△AOC为直角三角形, 又∵OC的长即为|c|, ∴c2=16-1=15, ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上, ∴c=- 与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组,解得a=; 同理当AC=BC时 在△AOC中,AC2=1+c2, 在△BOC中BC2=c2+9, ∵AC=BC, ∴1+c2=c2+9,此方程无解. 经解方程组可知只有两个a值满足条件. 故正确的有①④. |