(1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠BPE=90度. ∴∠OPE+∠APB=90°. 又∵∠APB+∠ABP=90°, ∴∠OPE=∠PBA. ∴Rt△POE∽Rt△BPA. ∴=. 即=. ∴y=x(4-x)=-x2+x(0<x<4). 且当x=2时,y有最大值.
(2)由已知,△PAB、△POE均为等腰直角三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3). 设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c,则
∴ y=x2-x+1.
(3)由(2)知∠EPB=90°,即点Q与点B重合时满足条件. 直线PB为y=x-1,与y轴交于点(0,-1). 将PB向上平移2个单位则过点E(0,1), ∴该直线为y=x+1. 由 得 ∴Q(5,6). 故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件. |