如图①,在平面直角坐标系中,点P(0,m2)(m>0)在y轴正半轴上,过点P作平行于x轴的直线,分别交抛物线C1:y=x2于点A、B,交抛物线C2:y=x2于点C、D.原点O关于直线AB的对称点为点Q,分别连接OA,OB,QC和QD. 【猜想与证明】 填表:
m | 1 | 2 | 3 | | | |
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答案
猜想与证明: 当m=1时,1=x2,1=x2, ∴x=±2,x=±3, ∴AB=4,CD=6, ∴=; 当m=2时,4=x2,4=x2, ∴x=±4,x=±6, ∴AB=8,CD=12, ∴=; 当m=3时,9=x2,9=x2, ∴x=±6,x=±9, ∴AB=12,CD=18, ∴=; ∴填表为
m | 1 | 2 | 3 | | | |
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举一反三
在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴相交于A,B两点,直线AB的函数表达式为y=-x-6,圆M经过原点O,A,B三点. (1)求出A,B的坐标; (2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在⊙M上且抛物线经过点B,求此抛物线的函数解析式; (3)如图,设(2)中求得的开口向下的抛物线交x轴于D、E两点,抛物线上是否存在点P,使得S△PDE=S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. | 如图,抛物线y=mx2+2mx-3m(m≠0)的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧),点H、B关于直线l:y=x+对称,过点B作直线BK∥AH交直线l于K点. (1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上; (2)求此抛物线的解析式; (3)将此抛物线向上平移,当抛物线经过K点时,设顶点为N,直接写出NK的长.
| 如图,抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连接BC、AD. (1)求C点的坐标及抛物线的解析式; (2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由; (3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q.问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为1:3两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
| 如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点M的坐标是(1,3),且与y轴相交于点C(0,2),P(1,1)是抛物线对称轴上的一点.请回答下列问题: (1)写出抛物线的解析式______; (2)点Q是抛物线上的一点,且使△CPQ的面积等于△CMP的面积,则所有满足条件的点Q的个数为:______.
| 如图,点E(x1,y1)、F(x2,y2)在抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的同侧(点E在点F的左侧),过点E、F分别作x轴的垂线,分别交x轴于点B、D,交直线y=2ax+b于点A、C,设S为直线AB、CD与x轴、直线y=2ax+b所围成图形的面积.则S与y1、y2的数量关系式为:S=______.
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