已知直线y=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y=x2-(b+10)x+c.(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-
题型:不详难度:来源:
已知直线y=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y=x2-(b+10)x+c. (1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式; (2)过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y=-2x+b的解析式. |
答案
(1)直线y=-2x+b与x轴交于点A,与y轴交于点B, ∴点A坐标为(,0),点B坐标(0,b), 由题意知,抛物线顶点P坐标为(,), ∵抛物线顶点P在直线y=-2x+b上,且过点B, 解得b1=-10,c1=-10,b2=-6,c2=-6, ∴抛物线解析式为y=x2-10或y=x2-4x-6;
(2)∵点A坐标(,0),点B坐标(0,b), ∴OA=||,OB=|b|, 又∵OA⊥OB,AB⊥BC, ∴△OAB∽△OBC ∴= ∴OB2=OA•OC, 即b2=OC•||, ∴OC= ∵抛物线y=x2-(b+10)x+c的对称轴为x=且抛物线对称轴过点C, ∴||=. (i)当b≤-10时,-=-2b, ∴b=(舍去) 经检验,b=不合题意,舍去. (ii)当-10≤b<0时,=-2b, ∴b=-2, (iii)当b>0时,=2b, ∴b=, 此时抛物线对称轴直线为x=-=>0, BC与x轴的交点在x轴负半轴, 故不符合题意,舍去. ∴直线的解析式为y=-2x-2. |
举一反三
我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,点D的坐标为(0,-3)AB为半圆直径,半圆圆心M(1,0),半径为2,则经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为______.
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如图,己知Rt△OAB的斜边OA在x轴正半轴上,直角顶点B在第一象限,OA=5,OB=. (1)求A、B两点的坐标; (2)求经过O、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式,并确定抛物线顶点的坐标.
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如图,是某河床横断面的示意图.据该河段的水文资料显示,当水面宽为40米时,河水最深为2米. (1)请在恰当的平面直角坐标系中求出与该抛物线型河床横断面对应的函数关系式; (2)当水面宽度为36米时,一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过?为什么?
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学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA.O恰好在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.且在过OA的任意平面上的抛物线如图1所示,建立平面直角坐标系(如图2),水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+x+,请回答下列问题: (1)花形柱子OA的高度; (2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水不至于落在池外?
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今有网球从斜坡O点处抛出,网球的抛物线是y=4x-x2的图象的一段,斜坡的截线OA在一次函数y=x的图象的一段,建立如图所示的直角坐标系. 求:(1)网球抛出的最高点的坐标. (2)网球在斜坡的落点A的垂直高度. |
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