如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-2）2-1图象的顶点为P，与x轴交点为A、B，与y轴交点为C，连接BP并延长交y轴于点D．（1）写出点P的坐标

题型：不详难度：来源：

如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-2）²-1图象的顶点为P，与x轴交点为A、B，与y轴交点为C，连接BP并延长交y轴于点D．
（1）写出点P的坐标；
（2）连接AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BC、AC、AD，点E（0，b）在线段CD（端点C、D除外）上，将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S，选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时，重叠部分的面积最大写出最大值．

答案

（1）P（2，-1）

（2）因为△APB为等腰直角三角形，P点坐标为（2，-1）
所以AB=2，
所以A（1，0），B（3，0）
将A点坐标代入二次函数y=a（x-2）²-1得：
0=a（1-2）²-1，
所以a=1
所以二次函数为：y=x²-4x+3
所以C（0，3），
所以OC=OB，∠OBC=45°
又因为∠ABP=45°，
所以∠CBD=90°，∠BCO=45°，
所以△BCD为等腰直角三角形，
所以D（0，-3）；

（3）①当0≤b＜3时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为△CEM．

因为CE=C’E，
所以C点恰好在直线B′C′上，
CE=3-b，AC直线方程为：y=3-3x，
E（0，b）所以EM=

3-b

3

所以重叠部分△CEM的面积为：
S=

1

2

×（3-b）×

3-b

3

=

(3-b)2

6

（0≤b＜3）；
②当-1＜b＜0时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为五边形EMANQ，
因为ED=ED′=EQ，
所以D’点恰好在直线BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
CQ=3-（3+2b）=-2b，
AC直线方程为：y=3-3x，
AD直线方程为：y=3x-3，
D’Q直线方程为：y=3+2b-x，
所以EM=

3+b

3

，N（-b，3+3b）
所以重叠部分五边形EMANQ的面积为：
S=S_△ACD-S_△CQN-S_△EMD
=

1

2

×6×1-

1

2

×（-2b）×（-b）-

1

2

×（3+b）×

3+b

3

=-

7b2

6

-b+

3

2

（-1＜b＜0）；
③当-3＜b≤-1时，旋转后的△B’C’D’与△ACD的重叠部分为四边形EMNQ；
因为ED=ED’=EQ，
所以D′点恰好在直线BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
DQ=（3+2b）-（-3）=6+2b，
AD直线方程为：y=3x-3，
D′Q直线方程为：y=3+2b-x，
所以EM=

3+b

3

，N（

3+b

2

，

3(1+b)

2

），
所以重叠部分四边形EMNQ的面积为：
S=S_△DNQ-S_△EMD=

1

2

×(6+2b)×

3+b

2

-

1

2

×(3+b)×

3+b

3

=

(3+b)2

3

（-3＜b≤1），
所以重叠部分的面积为：S=

(3-b)2 6 (0≤b＜3) - 7b2 6 -b+ 3 2 (-1＜b＜0) (3+b)2 3 (-3＜b≤-1)

，
当0≤b＜3时，b=0时，S最大，且S最大=

3

2

，
当-1＜b＜0时，S=-

7b2

6

-b+

3

2

=--

7

6

(b+

3

7

)2+

12

7

，
b=-

3

7

时，S最大，且S最大=

12

7

，
当-3＜b≤-1时，b=-1时，S最大，且S最大=

4

3

，
综上所述：当b=-

3

7

时，S最大=

12

7

．