(1)∵抛物线顶点(h,m)在直线y=kx上, ∴m=kh;
(2)方法一:解方程组, 将(2)代入(1)得到:(x-h)2+kh=kx, 整理得:(x-h)[(x-h)-k]=0, 解得:x1=h,x2=k+h, 代入到方程(2)y1=hy2=k2+hk, 所以点E坐标是(k+h,k2+hk), 当x=0时,y=(x-h)2+m=h2+kh, ∴点F坐标是(0,h2+kh), 当EF和x轴平行时,点E,F的纵坐标相等, 即k2+kh=h2+kh, 解得:h=k(h=-k舍去,否则E,F,O重合), 此时点E(2k,2k2),F(0,2k2),C(k,2k2),A(k,k2), ∴AC:OF=k2:2k2=1:2.(3分) 方法二:当x=0时,y=(x-h)2+m=h2+kh,即F(0,h2+kh), 当EF和x轴平行时,点E,F的纵坐标相等, 即点E的纵坐标为h2+kh, 当y=h2+kh时,代入y=(x-h)2+kh, 解得x=2h(0舍去,否则E,F,O重合), 即点E坐标为(2h,h2+kh),(1分) 将此点横纵坐标代入y=kx得到h=k(h=0舍去,否则点E,F,O重合), 此时点E(2k,2k2),F(0,2k2),C(k,2k2),A(k,k2), ∴AC:OF=k2:2k2=1:2. 方法三:∵EF与x轴平行, 根据抛物线对称性得到FC=EC, ∵AC∥FO, ∴∠ECA=∠EFO,∠FOE=∠CAE, ∴△OFE∽△ACE, ∴AC:OF=EC:EF=1:2.
(3)当点F的位置处于最低时,其纵坐标h2+kh最小, ∵h2+kh=[h2+kh+()2]-, 当h=-,点F的位置最低,此时F(0,-), 解方程组 得E(,),A(-,-). 方法一:设直线EF的解析式为y=px+q, 将点E(,),F(0,-)的横纵坐标分别代入得, 解得:p=k,q=-k2, ∴直线EF的解析式为y=kx-k2, 当x=-时,y=-k2,即点C的坐标为(-,-k2), ∵点A(-k,-), ∴AC=,而OF=k2, ∴AC=2OF,即AC:OF=2. 方法二:∵E(,),A(-,-), ∴点A,E关于点O对称, ∴AO=OE, ∵AC∥FO, ∴∠ECA=∠EFO,∠FOE=∠CAE, ∴△OFE∽△ACE, ∴AC:OF=AE:OE=2:1. |